EA 009953B1 20080428

	Патентная документация ЕАПВ
Запрос:	ea000009953b*\id
Результат:	ID\|Номер и дата охранного документа

больше ...

Термины запроса в документе

Реферат

1. Способ формирования прогноза значений в коллекторе, содержащий этапы, на которых:

(a) принимают входные данные, характеризующие коллектор,

(b) создают компьютерную модель в соответствии с входными данными, характеризующими коллектор, причем этап создания (b), на котором создают компьютерную модель, включает в себя этапы, на которых:

(b1) вычисляют значения в одном измерении, связанные с одним слоем в коллекторе, причем каждое из значений существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе,

(b2) вычисляют значения в одном измерении, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе,

(b3) вычисляют значения в трех измерениях, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе,

(b4) вычисляют значения в трех измерениях как функцию времени, причем значения связаны с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в любой будущий момент времени в коллекторе, причем компьютерная модель формируется в соответствии с этапом вычисления (b4),

проверяют компьютерную модель и

формируют прогноз значений в коллекторе в соответствии с этапом проверки с использованием компьютерной модели.

2. Способ по п.1, в котором этап вычисления (b2) содержит этапы, на которых

вычисляют значения в одном измерении, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе, и

вычисляют значения в двух измерениях, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в двух измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе.

3. Устройство хранения программ, считываемое машиной, материально воплощающее набор команд, выполняемых машиной, для осуществления этапов для формирования прогноза значений в коллекторе, способ содержит этапы, на которых:

(a) принимают входные данные, характеризующие коллектор,

(b4) вычисляют значения в трех измерениях как функцию времени, причем указанные значения связаны с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в любой будущий момент времени в коллекторе, причем компьютерная модель формируется в соответствии с этапом вычисления (b4),

проверяют компьютерную модель и

с использованием компьютерной модели формируют прогноз значений в коллекторе в соответствии с этапом проверки.

4. Устройство хранения программ по п.3, в котором этап вычисления (b2) содержит этапы, на которых

5. Система, приспособленная для формирования прогноза значений в коллекторе, содержащая

первое устройство, приспособленное для приема входных данных, характеризующих коллектор,

второе устройство, приспособленное для создания компьютерной модели в соответствии с входными данными, характеризующими коллектор, причем второе устройство, приспособленное для создания компьютерной модели, включает в себя

третье устройство, приспособленное для вычисления значений в одном измерении, связанных с одним слоем в коллекторе, причем каждое из значений существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе,

четвертое устройство, приспособленное для вычисления значений в одном измерении, связанных с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе,

пятое устройство, приспособленное для вычисления значений в трех измерениях, связанных с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе,

шестое устройство, приспособленное для вычисления значений в трех измерениях как функции времени, причем значения связаны с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в любой будущий момент времени в коллекторе, причем компьютерная модель создается в соответствии с вычислением, осуществляемым шестым устройством,

седьмое устройство, приспособленное для проверки компьютерной модели и, таким образом, для формирования проверенной компьютерной модели, и

восьмое устройство, которое в соответствии с проверенной компьютерной моделью приспособлено для формирования прогноза значений в коллекторе в соответствии с проверкой, осуществляемой седьмым устройством.

6. Система по п.5, в которой четвертое устройство содержит

устройство, приспособленное для вычисления значений в одном измерении, связанных с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе, и

устройство, приспособленное для вычисления значений в двух измерениях, связанных с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в двух измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе.

7. Способ создания компьютерной модели в соответствии с входными данными, характеризующими коллектор, содержащий этапы, на которых:

(a) вычисляют значения в одном измерении, связанные с одним слоем в коллекторе, причем каждое из значений существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе,

(b) вычисляют значения в одном измерении, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе,

(c) вычисляют значения в трех измерениях, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе, и

(d) вычисляют значения в трех измерениях как функцию времени, причем значения связаны с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в любой будущий момент времени в коллекторе, причем компьютерная модель формируется в соответствии с этапом вычисления (d).

8. Способ по п.7, в котором этап вычисления (b) содержит этапы, на которых

9. Устройство хранения программ, считываемое машиной, материально воплощающее программу из команд, выполняемых машиной для осуществления этапов способа для создания компьютерной модели в соответствии с входными данными, характеризующими коллектор, способ содержит этапы, на которых:

10. Устройство хранения программ по п.9, в котором этап вычисления (b) содержит этапы, на которых

11. Система, приспособленная для создания компьютерной модели в соответствии с входными данными, характеризующими коллектор, содержащая

первое устройство, приспособленное для вычисления значений в одном измерении, связанных с одним слоем в коллекторе, причем каждое из значений существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе,

второе устройство, приспособленное для вычисления значений в одном измерении, связанных с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе,

третье устройство, приспособленное для вычисления значений в трех измерениях, связанных с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе, и

четвертое устройство, приспособленное для вычисления значений в трех измерениях как функции времени, причем значения связаны с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в любой будущий момент времени в коллекторе, причем компьютерная модель создается, когда четвертое устройство вычисляет значения в трех измерениях как функцию времени.

12. Система по п.11, дополнительно содержащая

пятое устройство, которое в соответствии с вычислением, производимым вторым устройством, значений в одном измерении, связанных с множественными слоями в коллекторе, приспособлено для вычисления значений в двух измерениях, связанных с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в двух измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе.

Полный текст патента

(57) Реферат / Формула:
Способ формирования прогноза значений в коллекторе, содержащий этапы, на которых:

(a) принимают входные данные, характеризующие коллектор,

проверяют компьютерную модель и

2. Способ по п.1, в котором этап вычисления (b2) содержит этапы, на которых

(a) принимают входные данные, характеризующие коллектор,

проверяют компьютерную модель и

4. Устройство хранения программ по п.3, в котором этап вычисления (b2) содержит этапы, на которых

5. Система, приспособленная для формирования прогноза значений в коллекторе, содержащая

первое устройство, приспособленное для приема входных данных, характеризующих коллектор,

6. Система по п.5, в которой четвертое устройство содержит

8. Способ по п.7, в котором этап вычисления (b) содержит этапы, на которых

10. Устройство хранения программ по п.9, в котором этап вычисления (b) содержит этапы, на которых

12. Система по п.11, дополнительно содержащая

009953
Предпосылки изобретения
Настоящее изобретение относится к компьютерному моделированию газового коллектора, и в частности к способу и устройству хранения программ, приспособленному для формирования компьютерной модели, которая будет прогнозировать давление и поведение выработки газового коллектора.
Моделирование коллектора является важным средством управления нефтяных и газовых коллекторов. Прогнозирование давления в газовом коллекторе и его выработка в различных условиях эксплуатации позволяют, помимо прочего, принимать правильные инвестиционные решения. Чтобы сделать такой прогноз, необходимо построить модель коллектора. Модель коллектора, по существу, является математической моделью, которая реализуется посредством компьютерной программы. История, согласующаяся с наблюдаемым поведением коллектора, должна подтверждать параметры модели. В идеале, для построения моделей коллектора используются средства моделирования в конечных разностях. Это позволяет делать детальное описание, в том числе неоднородности, многофазных эффектов наподобие образования конуса обводнения и образования языков. Однако, чтобы полностью использовать такой инструмент, требуется большой объем достоверных данных. Кроме того, исчерпывающее изучение, включая этап адаптации модели, может занять месяцы. Поэтому требуется альтернативный инструмент, опирающийся на физику потока флюида и в то же время формирующий решение, которое на много порядков быстрее, чем вышеупомянутое средство моделирования в конечных разностях.
Сущность изобретения
Один аспект настоящего изобретения предусматривает способ формирования прогноза значений в коллекторе, содержащий этапы, на которых (а) принимают входные данные, характеризующие коллектор; (b) создают компьютерную модель в соответствии с входными данными, характеризующими коллектор, причем этап создания (b), на котором создают компьютерную модель, включает в себя этапы, на которых (Ь1) вычисляют значения в одном измерении, связанные с одним слоем в коллекторе, причем каждое из значений существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе, (Ь2) вычисляют значения в одном измерении, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе, (Ь3) вычисляют значения в трех измерениях, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе, (Ь4) вычисляют значения в трех измерениях как функцию времени, причем значения связаны с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в любой будущий момент времени в коллекторе, причем компьютерная модель формируется в соответствии с этапом вычисления (b4); проверяют компьютерную модель и с использованием компьютерной модели формируют прогноз значений в коллекторе в соответствии с этапом проверки.
Другой аспект настоящего изобретения предусматривает устройство хранения программ, считываемое машиной, материально воплощающее набор команд, выполняемых машиной, для осуществления этапов для формирования прогноза значений в коллекторе, способ содержит этапы, на которых (а) принимают входные данные, характеризующие коллектор; (b) создают компьютерную модель в соответствии с входными данными, характеризующими коллектор, причем этап создания (b), на котором создают компьютерную модель, включает в себя этапы, на которых (b1) вычисляют значения в одном измерении, связанные с одним слоем в коллекторе, причем каждое из значений существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе, (b2) вычисляют значения в одном измерении, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе, (b3) вычисляют значения в трех измерениях, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе, (b4) вычисляют значения в трех измерениях как функцию времени, причем значения связаны с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в любой будущий момент времени в коллекторе, причем компьютерная модель формируется в соответствии с этапом вычисления (b4); проверяют компьютерную модель и с использованием компьютерной модели формируют прогноз значений в коллекторе в соответствии с этапом проверки.
Еще один аспект настоящего изобретения предусматривает систему, приспособленную для формирования прогноза значений в коллекторе, содержащую первое устройство, приспособленное для приема входных данных, характеризующих коллектор; второе устройство, приспособленное для создания компьютерной модели в соответствии с входными данными, характеризующими коллектор, причем второе устройство, приспособленное для создания компьютерной модели, включает в себя третье устройство, приспособленное для вычисления значений в одном измерении, связанных с одним слоем в коллекторе, причем каждое из значений существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент вре
- 1 -
009953
мени в коллекторе, четвертое устройство, приспособленное для вычисления значений в одном измерении, связанных с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе, пятое устройство, приспособленное для вычисления значений в трех измерениях, связанных с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе, шестое устройство, приспособленное для вычисления значений в трех измерениях как функции времени, причем значения связаны с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в любой будущий момент времени в коллекторе, причем компьютерная модель создается в соответствии с вычислением, осуществляемым шестым устройством; седьмое устройство, приспособленное для проверки компьютерной модели и, таким образом, для формирования проверенной компьютерной модели; и восьмое устройство, которое в соответствии с проверенной компьютерной моделью приспособлено для формирования прогноза значений в коллекторе в соответствии с проверкой, осуществляемой седьмым устройством.
Еще один аспект настоящего изобретения предусматривает способ создания компьютерной модели в соответствии с входными данными, характеризующими коллектор, содержащий этапы, на которых
(a) вычисляют значения в одном измерении, связанные с одним слоем в коллекторе, причем каждое из значений существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе,
(b) вычисляют значения в одном измерении, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе, (с) вычисляют значения в трех измерениях, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе, и (d) вычисляют значения в трех измерениях как функцию времени, причем значения связаны с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в любой будущий момент времени в коллекторе, причем компьютерная модель формируется в соответствии с этапом вычисления (d).
Еще один аспект настоящего изобретения предусматривает устройство хранения программ, считываемое машиной, материально воплощающее программу из команд, выполняемых машиной, для осуществления этапов способа для создания компьютерной модели в соответствии с входными данными, характеризующими коллектор, способ содержит этапы, на которых (а) вычисляют значения в одном измерении, связанные с одним слоем в коллекторе, причем каждое из значений существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе, (b) вычисляют значения в одном измерении, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе, (с) вычисляют значения в трех измерениях, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе, и (d) вычисляют значения в трех измерениях как функцию времени, причем значения связаны с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в любой будущий момент времени в коллекторе, причем компьютерная модель формируется в соответствии с этапом вычисления (d).
Еще один аспект настоящего изобретения предусматривает систему, приспособленную для создания компьютерной модели в соответствии с входными данными, характеризующими коллектор, содержащую первое устройство, приспособленное для вычисления значений в одном измерении, связанных с одним слоем в коллекторе, причем каждое из значений существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе, второе устройство, приспособленное для вычисления значений в одном измерении, связанных с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе, третье устройство, приспособленное для вычисления значений в трех измерениях, связанных с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе, и четвертое устройство, приспособленное для вычисления значений в трех измерениях как функции времени, причем значения связаны с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в любой будущий момент времени в коллекторе, причем компьютерная модель создается, когда четвертое устройство вычисляет значения в трех измерениях как функцию времени.
- 2 -
009953
Краткое описание чертежей
Полностью понять настоящее изобретение можно из подробного описания предпочтительного варианта осуществления, представленного ниже, и прилагаемых чертежей, которые приведены только для иллюстрации и не призваны ограничивать объем изобретения, на которых
фиг. 1 и 2 иллюстрируют способ компьютерного моделирования для прогнозирования давления в газовом коллекторе и выхода газа из газового коллектора с использованием механизма конечных разностей и аналитического механизма, соответственно;
фиг. 3 иллюстрирует рабочую станцию, которая реагирует на определенные конкретные 'входные данные' и в которой хранится программное обеспечение Gas Reservoir Evaluation and Assessment (расчета и оценки газового коллектора) инструмента Gas Reservoir Evaluation and Assessment Tool (GREAT), согласно настоящему изобретению;
фиг. 4 и 5 иллюстрируют блок-схему программного обеспечения расчета и оценки газового коллектора согласно фиг. 3, которое включает в себя 'аналитический механизм', и 'входные данные', которые вводятся в программное обеспечение расчета и оценки газового коллектора, показанное на фиг. 3;
фиг. 6 и 7 иллюстрируют конструкцию этапа 'проверки' и этапа 'аналитического механизма', соответственно, программного обеспечения расчета и оценки газового коллектора согласно фиг. 4 согласно настоящему изобретению;
фиг. 8-11 иллюстрируют виды в разрезе земного пласта, позволяющие понять фиг. 7 чертежей, на которой представлена иллюстрация аналитического механизма; и
фиг. 12 иллюстрирует пример выходной записи, которая формируется устройством записи или отображения, связанным с инструментом расчета и оценки газового коллектора (GREAT), показанным на фиг. 3.
Описание изобретения
Прогнозирование поведения давления-выхода углеводородного коллектора важно для эффективного управления им. Планирование проекта и функции мониторинга зависят от времени готовности такой информации. Существует необходимость в быстром решении, предусматривающем адаптацию модели и последующее прогнозирование. Инструмент расчета и оценки газового коллектора (GREAT), раскрытый в этом описании изобретения, базируется на вновь сформулированной системе уравнений, применимой к множественным скважинам в однофазной системе. Инструмент GREAT обеспечивает полную последовательность действий для оценки газового коллектора, содержащую ввод данных и манипуляцию данными, инициализацию модели, интерпретацию испытаний, приведение в соответствие с архивом данных и прогнозирование. Инструмент GREAT включает в себя аналитический механизм 20, который дополнительно включает в себя вновь выведенное решение уравнений температуропроводности для множественных скважин, горизонтальных или вертикальных, в однофазной многослойной системе при различных граничных условиях. Решение этих уравнений моделирует режимы течения как в переходном, так и в стационарном состоянии и применимо к тестированию и долгосрочному прогнозированию производительности. Уравнения применимы к ламинарному течению флюидов в пористой среде, были результатом экспериментального исследования Дарси характеристик песочных фильтров. Это совместно с уравнением неразрывности и уравнением состояния для слабо сжимаемого флюида дает уравнение температуропроводности, которое является уравнением передачи давления в пористой среде. Решение уравнения температуропроводности при различных граничных условиях образует основу прогноза характеристики давления в забое продуктивной скважины. Эти аналитические решения в значительной степени применимы для одной скважины и широко используются в технике испытания скважин. Об эффективности аналитических моделей, в общем случае, судят по точности и скорости. Новое множество решений, используемое в инструменте GREAT, применимо ко множественным скважинам, которые могут быть вертикальными, а также горизонтальными. Эти скважины могут действовать как эксплуатационные или нагнетательные, что придает дополнительное промышленное значение хранилищу газовой скважины. Решение уравнения температуропроводности, изложенное в этом описании изобретения, получено с применением последовательных интегральных преобразований. Применение этих новых решений отличается стабильностью и скоростью.
Соответственно, в этом описании изобретения инструмент расчета и оценки газового коллектора (GREAT) согласно настоящему изобретению использует аналитический механизм (вместо механизма конечных разностей) для формирования прогнозов значений давления и других данных о добыче в 'любой точке пространства' и в 'любой момент времени' в коллекторе. В компьютерной системе, например рабочей станции, хранится программное обеспечение расчета и оценки газового коллектора, которое включает в себя аналитический механизм и реагирует на входные данные (которые включают в себя описание коллектора и свойства флюида), генерируя выходную запись, которая представляет прогноз значений давления и других данных в 'любой точке пространства' и в 'любой момент времени' в коллекторе. Аналитический механизм сначала вычисляет значение давления в одном измерении для одного слоя коллектора в 'одной точке пространства' и в' один момент времени'; затем он вычисляет значение давления в одном измерении для множественных слоев в коллекторе в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени'; затем он вычисляет значение давления в двух измерениях для множественных
- 3 -
009953
слоев в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени'; затем он вычисляет значение давления в трех измерениях для множественных слоев в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени'; и затем он вычисляет значение давления в трех измерениях для множественных слоев не только в 'одной точке пространства', но и в 'любой будущий момент времени'.
Согласно фиг. 1 первый способ компьютерного моделирования приспособлен для прогнозирования давления в газовом коллекторе и/или добычи газа из газового коллектора, причем этот первый способ использует 'механизм конечных разностей'. Согласно фиг. 1 первым этапом способа является этап 10 ввода данных. Этот этап ввода данных 10 предусматривает ввод входных данных, представляющих (характеризующих) газовый коллектор, например радиуса скважины, оболочки, которая представляет собой зону повреждения вокруг ствола скважины, длины перфорации, свойств флюидов, описания коллектора и данных скорости выхода. Эти входные данные будут рассмотрены подробнее ниже в этом описании изобретения. 'Механизм конечных разностей' 12 принимает входные данные, обеспеченные на этапе 10 ввода данных. 'Механизм конечных разностей' 12 включает в себя этап 12а 'инициализации модели'. Обычно этап 12а 'инициализации модели' включает в себя калькулятор давления для вычисления давления в газовом коллекторе в одной точке пространства и в один момент времени (далее именуемого 'давлением в одном измерении в момент времени', где 1D означает 'одно измерение'). Этап 12а 'инициализации модели' также будет рассмотрен ниже в этом описании изобретения. 'Механизм конечных разностей' 12 представляет собой, в основном, 'метод численного моделирования', где моделирование осуществляется 'численными методами'. 'Механизм конечных разностей' 12 подвержен ошибкам, поскольку ошибки могут накапливаться в процессе численного моделирования. Кроме того, процесс численного моделирования, связанный с 'механизмом конечных разностей' 12, требует очень много времени, поскольку на процесс численного моделирования тратится большое количество времени. 'Механизм конечных разностей' 12 порождает 'компьютерную модель', которую нужно проверять на этапе 14 проверки. На этапе 14 проверки 'известные данные' (имеющие 'известные результаты') вводятся в 'компьютерную модель', полученную от 'механизма конечных разностей' 12. В соответствии с этим 'компьютерная модель' формирует 'результаты'. Эти 'результаты' сравниваются с вышеупомянутыми 'известными результатами'. Если 'результаты' приблизительно равны 'известным результатам', то этап 14 проверки выявляет, что 'компьютерная модель', сформированная 'механизмом конечных разностей' 12, действительно дает точные результаты и точные прогнозы. Этап 14 проверки включает в себя два типа проверки: (1) интерпретацию испытания 14а и (2) адаптацию модели 14b (каждый этап 14а и 14b проверки будет описан ниже более подробно). После того как на этапе 14 проверки подтверждена 'компьютерная модель', сформированная 'механизмом конечных разностей' 12 (т.е. 'компьютерная модель' действительно дает точные результаты или прогнозы), следующий этап включает в себя этап 16 прогнозирования. В этот момент 'компьютерная модель', выработанная 'механизмом конечных разностей' 12 и проверенная на этапе 14 проверки, может прогнозировать давление в газовом коллекторе и/или его производительность в любой точке пространства в коллекторе и в любой будущий момент времени в коллекторе. В результате, на этапе 16 прогнозирования переменная времени 't', представляющая 'будущий момент времени t', может вводиться на этап 10 'ввода данных', нажимается клавиша 'ввод' на компьютерной системе или рабочей станции, и в результате 'давление' в газовом коллекторе и/или другие данные о добыче, связанные с газовым коллектором, для этого конкретного будущего момента времени 't' отображаются или иначе предоставляются пользователю. Однако, как отмечено выше, на этапе 12 'механизм конечных разностей' время обработки 'механизма конечных разностей' 12 может быть очень 'долгим' и, кроме того, результаты, выдаваемые 'механизмом конечных разностей' 12, могут содержать большое количество ошибок, поскольку ряд отдельных ошибок может накапливаться на этапе 12 'механизм конечных разностей'.
Согласно фиг. 2 второй способ компьютерного моделирования приспособлен для прогнозирования давления в газовом коллекторе и/или добычи газа из газового коллектора, причем этот второй способ использует 'аналитический механизм'. Согласно фиг. 2 этот второй способ идентичен первому способу, показанному на фиг. 1, за исключением того, что второй способ согласно фиг. 2 использует 'аналитический механизм' вместо 'механизма конечных разностей' согласно фиг. 1. Согласно фиг. 2 после этапа 10 ввода данных следует этап 20 'аналитический механизм'. Этап 20 'аналитический механизм' включает в себя этап 'инициализации модели' 12а, как на фиг. 1. После этапа 20 'аналитический механизм' следует такой же этап 14 проверки, как на фиг. 1, и после этапа 14 проверки следует этап 18 'прогнозирования'. Этап 18 'прогнозирования' не такой, как этап 16 'прогнозирования', согласно фиг. 1, поскольку 'прогноз' или 'результаты' 18, обеспеченный(е) на этапе 18 'прогнозирования', гораздо точнее и, кроме того, 'прогноз' 18 предоставляется мгновенно, как отмечено ниже. Согласно указанному выше 'аналитический механизм' 20 на порядки быстрее, чем 'механизм конечных разностей' 12, согласно фиг. 1, поскольку 'аналитический механизм' 20 обеспечивает 'результаты' или 'прогноз' 18 почти мгновенно после этапа 10 ввода данных согласно фиг. 2. Фактически, когда этап 10 ввода данных согласно фиг. 2 завершен, когда клавиша 'ввод' на клавиатуре рабочей станции или компьютера нажата, 'прогноз' от этапа 18 'прогнозирования' становится мгновенно доступен пользователю через устройство записи или отображения рабочей станции или компьютерной системы. Кроме того, 'прогноз' 18, формируемый
- 4 -
009953
'аналитический механизм' 20, гораздо точнее 'прогноза' 16, формируемого 'механизмом конечных разностей' 12. Рассмотрение 'аналитического механизма' 20 будет приведено ниже в разделе 'Описание изобретения' описания изобретения; однако, дополнительно документ подробного описания изобретения представлен в разделе 'Подробное описание изобретения' этого описания изобретения, причем документ подробного описания изобретения обеспечивает детальную конструкцию 'аналитического механизма' 20 согласно фиг. 2.
Согласно фиг. 1 и 2 этап 10 ввода данных относится ко вводу исторических данных скорости выхода и давления. Данные давления могут включать в себя измерения статического или гидродинамического давления в забое каждой скважины на протяжении истории эксплуатации коллектора. Кроме того, они могут включать в себя динамические данные давления. Инструмент GREAT настоящего изобретения согласно фиг. 3 будет особенно пригоден для обработки данных от скважинных измерительных устройств, постоянно находящихся в скважине. Скважинные измерительные устройства, постоянно находящиеся в скважине, обеспечивают большой объем данных, собираемый в течение очень малых интервалов времени на протяжении продолжительных периодов времени. Для обработки этих данных с целью последующего использования будут обеспечены подходящие методы фильтрации. Обработанные каротажные диаграммы можно вводить и отображать.
Этап 12а инициализации модели позволяет инициировать модель газового коллектора посредством базовой формы модели, геометрии слоев и статических свойств, например пористости. Для генерации свойств флюидов обеспечивается ряд наборов корреляции.
На этапе 14а интерпретации испытания можно сделать начальные оценки проницаемости и оболочки, D-фактора, потенциального дебита, начального пластового давления и объема коллектора. С этой целью будут использованы средства подгонки к основной линии на специальных графиках переходного давления. Кроме того, для определения объема коллектора на основе данных статического давления будут доступны два основных графика материального баланса, т.е. Havlena-Odeh и p/Z.
Этап 14b адаптации модели важен для проверки модели. Получив начальные оценки параметров на предыдущих этапах, можно осуществлять нелинейную регрессию на наблюдаемых данных давления для всех скважин в коллекторе. Это обеспечит окончательную регулировку параметров коллектора и скважин применительно ко всему коллектору.
Этапы прогнозирования 16 и 18 используют настроенную модель для обеспечения прогнозирования давлений в забое коллектора и скважины на основании объектов отдельных с заданным расположением забоя скважин. Объекты отдельных с заданным расположением забоя скважин можно задавать на основании Daily Contracted Quantity (DCQ) и факторов месячного профиля. Отсечки давления отдельных скважин и коллектора совместно с фактором качания обеспечат необходимые проверки для определения продуктивности скважины. Этот этап также обеспечивает возможность формирования численной модели коллектора для специалистов по моделированию.
Следует отметить, что необязательно проходить все этапы. В отсутствие переходных данных давления начальные значения проницаемости можно получить из каротажных диаграмм и объем коллектора можно получить из геологической информации. От этапа инициализации модели можно перейти к этапу адаптации модели. Аналогично, в отсутствие исторических архивных данных можно использовать этап прогнозирования как упражнение в конструировании.
На фиг. 3 показана рабочая станция 22 или другая компьютерная система 22, представляющая инструмент расчета и оценки газового коллектора (GREAT). Согласно фиг. 3 рабочая станция 22 включает в себя процессор 22а, оперативно подключенный к системной шине, устройство 22b записи или отображения, оперативно подключенное к системной шине, и память или другое устройство 22с хранения программ, оперативно подключенное к системной шине. Устройство 22с хранения программ приспособлено принимать 'программное обеспечение расчета и оценки газового коллектора' 22с1 с CD-Rom или другого подобного устройства хранения программ, причем 'программное обеспечение расчета и оценки газового коллектора' 22с1 загружается с CD-Rom в память/устройство 22с хранения программ, показанную(ое) на фиг. 3, для хранения там. Системная шина рабочей станции 22 приспособлена принимать определенные конкретные 'входные данные' 24, причем 'входные данные' 24 будут рассмотрены ниже со ссылкой на фиг. 5. Когда процессор 22а рабочей станции 22 принимает 'входные данные' 24 и выполняет 'программное обеспечение расчета и оценки газового коллектора' 22с1, хранящееся в памяти/устройстве 22с хранения программ, с использованием таких 'входных данных' 24, 'выходная запись' 22b1 записывается или отображается на устройстве 22b записи или отображения рабочей станции или другой подобной компьютерной системы 22, показанной на фиг. 3. Эта 'выходная запись' 22b1 будет рассмотрена ниже со ссылкой на фиг. 12. Рабочая станция 22 или другая подобная компьютерная система 22 может представлять собой персональный компьютер (ПК), рабочую станцию или универсальный компьютер. Примеры возможных рабочих станций включают в себя рабочую станцию Silicon Graphics Indigo 2, или рабочую станцию Sun SPARC, или рабочую станцию Sun ULTRA, или рабочую станцию Sun BLADE. Память/устройство 22с хранения программ или вышеупомянутый CD-Rom является компьютерно-считываемым носителем или устройством хранения программ, которое считывается машиной, например процессором 22а. Процессор 22а может представлять собой, например, микропроцессор, микроконтроллер или про
- 5 -
009953
цессор универсального компьютера или рабочей станции. Память/устройство 22с хранения программ, в котором хранится программное обеспечение расчета и оценки газового коллектора 22с1, может представлять собой, например, жесткий диск, ПЗУ, CD-ROM, ДОЗУ или другое ПЗУ, флэш-память, магнитное ЗУ, оптическое ЗУ, регистры или другую энергозависимую и/или энергонезависимую память.
Согласно фиг. 4 программное обеспечение расчета и сценки газового коллектора 22с1, показанное на фиг. 3, включает в себя четыре главных этапа, которые также проиллюстрированы на фиг. 2: (1) этап 10 ввода данных, (2) этап 20 - аналитический механизм, (3) этап 14 проверки и (4) этап 18 прогнозирования. 'Выходная запись' 22b1 согласно фиг. 3 формируется после этапа 18 прогнозирования. Каждый этап будет рассмотрен ниже.
Согласно фиг. 3, 4 и 5 на этапе 10 ввода данных согласно фиг. 4 'входные данные' 24 согласно фиг. 3 вводятся в рабочую станцию 22, показанную на фиг. 3, посредством клавиатуры рабочей станции. Следует отметить, что программное обеспечение расчета и оценки газового коллектора 22с1 приспособлено оценивать газовый (или нефтяной) коллектор, причем коллектор включает в себя совокупность перфорированных стволов скважины, проникающих в земной пласт, причем каждый ствол скважины имеет радиус скважины и оболочку на стенке ствола скважины для выдачи флюида из пласта. Газовый (или нефтяной) коллектор имеет 'описание коллектора', которое включает в себя ' данные коллектора', которые характеризуют пласт, через который проходят один или несколько стволов скважины в газовом (или нефтяном) коллекторе, причем 'данные коллектора' включают в себя проницаемость, удельное сопротивление, пористость и наличие или отсутствие границ в стволе скважины, которые могут препятствовать истечению флюида из пласта, и т.д. В результате, согласно фиг. 5 на этапе 10 ввода данных согласно фиг. 4 'входные данные' 24 вводятся в рабочую станцию 22, показанную на фиг. 3, причем эти 'входные данные' 24 включают в себя (1) 'радиус скважины', представляющий радиус ствола скважины в коллекторе, (2) 'оболочку', представляющую 'зону повреждения', окружающую ствол скважины, где повреждение обусловлено перфорациями в пласте, через который проходит ствол скважины, и буровым раствором, поглощенным пластом, который снижает способность нефти или газа вытекать из пласта, (3) 'длину перфорации', представляющую длину перфораций в пласте, через который проходит ствол скважины, (4) 'свойства флюидов', представляющие свойства флюида, выдаваемого скважиной, например плотность и другие свойства флюидов, например давление и температуру, при которых газ выделяется из раствора, (5) 'описание коллектора', представляющее данные, которые характеризуют пласт, через который проходят стволы скважины в коллекторе, например проницаемость, удельное сопротивление или пористость пласта, и наличие или отсутствие границ в пласте, через который проходит ствол скважины, что может препятствовать истечению газа или флюида из перфораций в пласте вокруг ствола скважины, (6) 'данные скорости выхода', представляющие скорость, с которой газ (или нефть) выходят из устья скважины в результате выхода газа (или нефти) из перфораций в пласте, через который проходит ствол скважины.
Согласно фиг. 4 на этапе 20 аналитического механизма формируется 'компьютерная модель' 20а. Эта 'компьютерная модель' 20а приспособлена прогнозировать давление газа в газовом коллекторе и характеристики выработки газа из газового коллектора в любой точке пространства и в любой момент времени. Этап 20 аналитического механизма будет рассмотрен ниже более подробно в разделе 'Описание изобретения' настоящего описания изобретения со ссылкой на фиг. 7 и в разделе 'Подробное описание изобретения' настоящего описания изобретения, где представлен документ описания изобретения, подробно описывающий характеристики аналитического механизма 20. Аналитический механизм 20 создает 'компьютерную модель' 20а почти мгновенно после этапа 10 ввода данных (при нажатии клавиши 'ввод' на клавиатуре рабочей станции 22), и 'компьютерная модель' 20а создает прогнозы 18, показанные на фиг. 2 и 4, которые гораздо точнее, чем прогнозы 16, показанные на фиг. 1.
Согласно фиг. 4 и 6 на этапе 14 проверки 'компьютерная модель' 20а проверяется, чтобы гарантировать точность прогнозов 18. Например, манометр погружен в ствол скважины в 'конкретную точку пространства' и в 'конкретный момент времени' для регистрации первого давления в скважине. Затем 'компьютерная модель' 20а опрашивается в отношении 'конкретной точки пространства' и 'конкретного момента времени' для выработки второго давления. Если первое давление приблизительно равно второму давлению, значит, проверка 'компьютерной модели' 20а показала, что ее прогнозы 18 точны. Согласно фиг. 6 этап 14 проверки включает в себя два типа проверки: (1) интерпретацию испытания 14а, и (2) адаптацию модели 14b. При интерпретации испытания 14а прогнозируемое давление в коллекторе как функцию пространства и времени сравнивают с более простыми известными случаями. При адаптации модели 14b на основании архивных данных прогнозируемое давление в коллекторе как функцию пространства и времени сравнивают с известным измерением как функцией того же самого пространства и времени. Временные шкалы и методологии, используемые на этапе 14а интерпретации испытания и этапе 14b адаптации модели, различны, но преследуют одну и ту же цель; а именно проверить, что 'компьютерная модель' 20а будет выдавать точные прогнозы 18, как описано выше.
Согласно фиг. 3 и 4 на этапе 18 прогнозирования согласно фиг. 4 после того, как определено, что 'компьютерная модель' 20а будет давать точные прогнозы 18, 'компьютерную модель' 20а можно опрашивать для формирования прогноза 18 "в реальном времени". Следует отметить, что 'компьютерная модель' 20а представляет коллектор, характеристики которого заданы во входных данных 24, согласно
- 6 -
009953
фиг. 5, причем 'компьютерной модели' 20а передаются два типа данных: (1) 'время в будущем', представляющее момент времени в коллекторе, когда необходимы характеристики коллектора, и (2) 'точку в пространстве', представляющую конкретное местоположение в коллекторе, где необходимы характеристики коллектора. В соответствии с этим 'компьютерная модель' 20а сформирует 'прогноз' 18, который включает в себя 'давление' и 'другие характеристики добычи' в коллекторе в этой 'точке пространства' и в это 'время в будущем'. Эта информация 'давления' и 'других характеристик добычи' представляет ценность для потребителя, поскольку потребитель хочет знать производительность коллектора в течение, например, 5 лет, или когда коллектор истощится, и т. д. По завершении этапа 18 прогнозирования формируется 'выходная запись' 22b1, которая отражает и/или регистрирует и/или отображает этот прогноз 18, причем 'выходная запись' 22b1 формируется устройством записи или отображения 22b, показанным на фиг. 3.
Согласно фиг. 7-11 конструкция аналитического механизма 20 согласно фиг. 2 и 4 проиллюстрирована на фиг. 7.
Согласно фиг. 7 аналитический механизм 20 включает в себя этап 12а инициализации модели, который реагирует на входные данные 24, показанные на фиг. 3 и 5, включающие в себя радиус скважины, оболочку, длину перфорации, свойства флюидов, описание коллектора и данные скорости выхода. Согласно фиг. 7 этап 12а инициализации модели представляет собой 'калькулятор давления' 12а, который вычисляет давление в коллекторе как функцию пространства и времени; то есть 'калькулятор давления' 12а вычисляет совокупность давлений в одном измерении (1D), например по оси х в коллекторе, причем каждое из совокупности давлений вдоль одномерной оси х в коллекторе представляет давление в одной точке пространства и в один момент времени в коллекторе. Поскольку 'калькулятор давления' 12а этапа 12а инициализации модели вычисляет совокупность давлений в одном измерении по оси х в коллекторе (каждое давление представляет собой давление в одной точке пространства и в один момент времени в коллекторе), 'калькулятор давления' 12а фактически вычисляет совокупность давлений, производя сум-
мирование в виде 'интеграла от 0 до х' вдоль коллектора, а именно 0 .
На фиг. 8 в порядке примера проиллюстрирован вид в разрезе земного пласта. Фиг. 8 представляет один слой земного пласта. Совокупность значений давления 28 вычислена на этапе 12а инициализации модели согласно фиг. 7 вдоль оси х в одном слое земного пласта, причем каждое из совокупности значений давления 28 представляет собой давление, существующее в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени' в коллекторе.
Согласно фиг. 7 аналитический механизм 20 также включает в себя этап 26 многослойного цикла. На этапе 12а инициализации модели предполагалось, что в земном пласте коллектора существует 'один слой пласта', когда совокупность значений давления 28 вычислялась в 'одной точке пространства' в 'одном слое пласта' и в 'один момент времени'. Однако всем известно, что земной пласт состоит из множества слоев (а не только из одного слоя, как показано на фиг. 8). Поэтому этап 26 многослойного цикла согласно фиг. 7 будет реагировать на раздел 'Описание коллектора' входных данных 24, преобразуя 'давление в одном измерении для одного слоя коллектора' (которое выдает 'калькулятор давления' 12а этапа 12а инициализации модели) в 'многослойный пласт', который базируется на описании коллектора, причем 'многослойный пласт' представляет собой 'совокупность слоев земного пласта'. В каждом из 'совокупности слоев земного пласта' совокупность значений давления вычисляется в одном измерении вдоль оси х каждого слоя, причем каждое значение давления находится в 'одной точке пространства' и существует в 'один момент времени'.
Согласно фиг. 9 в порядке примера, в то время как на фиг. 8 показан один слой земного пласта, на фиг. 9 показано, что многослойный цикл 26 согласно фиг. 7 реагирует на 'описание коллектора', преобразуя давление в одном измерении для одного слоя пласта', сгенерированное калькулятором 12а давления на этапе 12а инициализации модели, в 'совокупность слоев 36а, 36b и 36с земного пласта' в земном пласте. Согласно фиг. 9 в каждом из 'совокупности слоев земного пласта' 36а-36с, выработанной многослойным циклом 26, согласно фиг. 7 'совокупность значений давления' вычислена вдоль оси х пласта в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени'. Например, согласно фиг. 9 каждое из 'совокупности значений давления' 30 вычислено в одном измерении (1D) вдоль оси х слоя пласта в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени' для слоя 36а земного пласта. Согласно фиг. 9 каждая из 'совокупности значений давления' 32 вычислена в одном измерении вдоль оси х в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени' для слоя 36b земного пласта. Согласно фиг. 9 каждая из 'совокупности значений давления' 34 вычислена в одном измерении вдоль оси х в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени' для слоя 36с земного пласта.
Согласно фиг. 7, в связи с интегрируемой функцией источника 38 давления, вспомним из фиг. 9, что каждая из 'совокупности значений давления' 30, 32 и 34 вычислена в одном измерении в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени' для совокупности слоев 36а, 36b и 36с пласта. Согласно фиг. 7 и 10 интегрируемая функция источника 38 давления, показанная на фиг. 7, добавит дополнительное изме
- 7 -
009953
рение к каждому слою 36а, 36b, 36с пласта, преобразовав 'одномерное (1D)' вычисление значений давления 30-34 для каждого из слоев 36а, 36b и 36с пласта (в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени'), как показано на фиг. 9, в 'двухмерное (2D)' вычисление значений давления для каждого из слоев 36а, 36b и 36с пласта (в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени'), как показано на
фиг. 10.
Согласно фиг. 10, в порядке примера, интегрируемая функция 38 источника давления, показанная на фиг. 7, вычисляет 'дополнительную совокупность значений давления' 40, 42, 44 вдоль оси у каждого из слоев 36а, 36b, 36с пласта, причем каждое значение давления 'дополнительной совокупности значений давления' 40, 42, 44 вычисляется в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени'. Поэтому согласно фиг. 10 каждое из 'совокупности значений давления' 30, 32, 34 вычислено в связи с осью х в каждом из слоев 36а, 36b, 36с пласта в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени'; и, дополнительно, каждое из 'дополнительной совокупности значений давления' 40, 42, 44 вычислено в связи с осью у в каждом из слоев 36а, 36b и 36с пласта в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени'. Интегрируемая функция 38 источника давления, показанная на фиг. 7, фактически вычисляет 'дополнительную совокупность значений давления' 40, 42, 44, осуществляя еще одно суммирование в виде 'интеграла от 0
' Г
до у вдоль коллектора, а именно
Согласно фиг. 7, в связи с интегрируемой функцией 46 границы давления, вспомним из фиг. 10, что каждое из 'совокупности значений давления' 30, 32 и 34 вычислено в одном измерении вдоль оси х в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени' для совокупности слоев 36а, 36b и 36с пласта и что каждое из 'дополнительной совокупности значений давления' 40, 42, 44 вычислено в двух измерениях вдоль оси у в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени'. Согласно фиг. 7 и 11 интегрируемая функция 46 границы давления согласно фиг. 7 добавит еще одно дополнительное измерение к каждому слою 36а, 36b, 36с пласта, преобразовав 'двухмерное (2D)' вычисление значений давления 30/32/34 и 40/42/44 для каждого из слоев 36а, 36b и 36с пласта (в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени'), как показано на фиг. 10, в 'трехмерное (3D)' вычисление значений давления для каждого из слоев 3 6а, 36b и 36с пласта (в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени'), как показано на фиг. 11.
Согласно фиг. 11, в порядке примера, интегрируемая функция 46 границы давления, показанная на фиг. 7, будет вычислять 'еще одну дополнительную совокупность значений давления' 48, 50, 52 вдоль оси z каждого из слоев 36а, 36b, и 36с пласта, причем каждое значение давления 'еще одной дополнительной совокупности значений давления' 48, 50, 52 вычисляется в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени'. Поэтому согласно фиг. 11 каждое из 'совокупности значений давления' 30, 32 и 34 вычислено в одном измерении в связи с осью х в каждом слое 36а, 36b, 36с пласта в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени'; каждое из 'дополнительной совокупности значений давления' 40, 42, 44 вычислено в двух измерениях в связи с осью у в каждом слое 36а, 36b и 36с пласта в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени'; и, кроме того, каждое из 'еще одной дополнительной совокупности значений давления' 48, 50, 52 вычислено в трех измерениях в связи с осью z в каждом слое 36а, 36b и 36с пласта в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени' . Интегрируемая функция 46 границы давления, показанная на фиг. 7, фактически вычисляет 'еще одну дополнительную совокупность значений давления' 48, 50, 52, производя еще одно суммирование в виде 'интеграла от 0 до z' вдоль коллектора, а
именно 0 .
Согласно фиг. 7, в связи с этапом 54 интегрируемой функции начального давления, вспомним из фиг. 11, что каждое из 'совокупности значений давления' 30, 32 и 34 вычислено в одном измерении вдоль оси х в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени' для совокупности слоев 36а, 36b и 36с пласта; что каждое из 'дополнительной совокупности значений давления' 40, 42, 44 вычислено в двух измерениях вдоль оси у в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени' для совокупности слоев 36а, 36b и 36с пласта; и что каждое из 'еще одной дополнительной совокупности значений давления' 48, 50, 52 вычислено в трех измерениях вдоль оси z в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени' для совокупности пласта 36а, 36b и 36с слоев. Согласно фиг. 11 следует отметить, что все значения давления 30-52 вдоль осей х, у и z вычислены 'в один момент времени'. Общей целью этапа 18 'прогнозирования' согласно фиг. 4 является прогнозирование давления в коллекторе (и других данных о добыче) в любой точке пространства и в 'любой момент времени' в коллекторе. Поэтому необходимо также формировать прогноз давления в коллекторе в 'любой момент времени', что включает в себя любое будущее время. Согласно фиг. 7 и 11 этап 54 интегрируемой функции начального давления согласно фиг. 7 принимает 'совокупность значений давления 30-52' для слоев 36а, 36b, 36с пласта, показанных в трех измерениях на фиг. 11 (причем каждое значение давления существует в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени'), и в соответствии с этим на этапе 54 интегрируемой функции начального давления согласно
- 8 -
009953
фиг. 7 будет формироваться 'совокупность значений давления, зависящая от времени', причем каждое значение давления 'совокупности значений давления, зависящей от времени' будет существовать не только в 'одной точке пространства', но и в 'любой момент времени'. Поэтому согласно фиг. 7 и 11 'выход' этапа 54 интегрируемой функции начального давления будет содержать 'одно или несколько значений давления' 30, 32, 34, 40, 42, 44, 48, 50, 52, связанных с 'одним или несколькими положениями' в трех направлениях в коллекторе, причем (1) 'каждое значение давления' из 'одного или нескольких значений давления' будет иметь 'конкретную точку в пространстве', связанную с 'одним или несколькими местами' в трех измерениях в коллекторе, и (2) 'каждое значение давления' из 'одного или нескольких значений давления' будет существовать в ' конкретный момент времени', связанный с 'конкретной точкой в пространстве' в коллекторе (то есть в любое время в будущем). Интегрируемая функция 54 начального давления, показанная на фиг. 7, фактически вычисляет 'одно или несколько значений давления', причем каждое значение давления имеет 'конкретную точку в пространстве' и будет существовать в 'конкретный момент времени', осуществляя еще одно дополнительное суммирование в виде 'интеграла от 0 до t' вдоль
коллектора, а именно .
Согласно фиг. 7 на этапе 56 вспомним, что суммирование осуществляется в виде интегралов
Значения давления 30-52 вычисляются (в трех измерениях и как функция 'времени') путем последовательного интегрирования решения точечного источника в уравнении температуропроводности, где расход подчиняется закону Дарси. Инструмент расчета и оценки газового коллектора (GREAT) согласно настоящему изобретению согласно фиг. 3 обеспечивает полную последовательность операций для быстрого оценивания газовых коллекторов. Инструмент GREAT включает в себя аналитический механизм 20, который дополнительно включает в себя вновь выведенное решение уравнений температуропроводности для множественных скважин, горизонтальных или вертикальных, в однофазной многослойной системе при различных граничных условиях. Решение этих уравнений моделирует режимы течения как в переходном, так и в стационарном состоянии и применимо к тестированию и долгосрочному прогнозированию производительности. Уравнения применимы к ламинарному течению флюидов в пористой среде, были результатом экспериментального исследования Дарси характеристик течения песочных фильтров. Совместно с уравнением неразрывности и уравнением состояния для слабо сжимаемого флюида дает уравнения температуропроводности, которое является уравнением передачи давления в пористой среде. Решение уравнения температуропроводности при различных граничных условиях образует основу прогноза характеристики давления в забое продуктивной скважины. Эти аналитические решения в значительной степени применимы для одной скважины и широко используются в технике испытания скважин. Об эффективности аналитических моделей в общем случае судят по точности и скорости. Новое множество решений, используемое в инструменте GREAT, согласно фиг. 3 применимо к множественным скважинам, которые могут быть вертикальными, а также горизонтальными. Эти скважины могут действовать как эксплуатационные или нагнетательные, что придает дополнительное промышленное значение хранилищу газовой скважины. Решения получены с применением последовательных интегральных преобразований. Применение этих новых решений отличается стабильностью и скоростью.
На фиг. 12 проиллюстрирован пример выходной записи 22b1, сформированной устройством 22b записи или отображения, согласно фиг. 3. Эта выходная запись 22b1 обеспечивает прогноз 18, проиллюстрированный на фиг. 4, причем выходная запись 22b1 демонстрирует одно или несколько значений давления (и/или другие данные о добыче), причем каждое значение давления существует в любой 'одной точке пространства' в трех измерениях (3D) в коллекторе, причем каждое значение давления существует в 'любой будущий момент времени', связанный с 'одной точкой пространства' в коллекторе.
Функциональное описание работы инструмента расчета и оценки газового коллектора (GREAT) 22 в соответствии с настоящим изобретением согласно фиг. 3 будет изложено в следующих абзацах со ссылкой на фиг. 1-12 чертежей.
Согласно фиг. 3 программное обеспечение 22с1 расчета и оценки газового коллектора загружается с CD-Rom (или другого подобного устройства хранения программ) в память или устройство 22с хранения программ инструмента расчета и оценки газового коллектора (далее 'инструмента GREAT') согласно фиг. 3 для хранения там. Согласно фиг. 3 входные данные 24 также вводятся в рабочую станцию 22 согласно фиг. 3, которая представляет инструмент GREAT, в соответствии с настоящим изобретением. Согласно фиг. 5 входные данные 24 включают в себя следующие 'конкретные данные': радиус скважины, оболочку, длину перфорации, свойства флюидов, описание коллектора и данные скорости выхода. Вышеупомянутые 'конкретные данные' представляют коллектор, например газовый коллектор, который включает в себя один или несколько стволов скважины. Согласно фиг. 3 процессор 22а выполняет программное обеспечение 22с1 расчета и оценки газового коллектора, хранящееся в памяти/устройстве 22с
- 9 -
009953
хранения программ, и в соответствии с этим процессор 22а формирует выходную запись 22b1, причем выходная запись 22b1 записывается или отображается на устройстве 22b записи или отображения согласно фиг. 3. Когда процессор 22а выполняет программное обеспечение 22с 1 расчета и оценки газового коллектора, этапы, показанные на фиг. 4, выполняются последовательно. Согласно фиг. 4 в соответствии с входными данными 24 процессор 22а начинает этап 10 ввода данных согласно фиг. 4, на котором входные данные 24 поступают на процессор 22а. В этот момент согласно фиг. 4 процессор 22а начинает этап 20 аналитического механизма, на котором аналитический механизм 20 использует входные данные 24 для формирования 'компьютерной модели' 20а. Затем согласно фиг. 4 процессор 22а начинает этап 14 проверки, на котором 'компьютерная модель' 20а проверяется для определения, будет ли 'компьютерная модель' формировать точные результаты. Согласно фиг. 6 на этапе 14 проверки 'компьютерная модель' 20а проходит проверку посредством этапа 14а интерпретации испытания и этапа 14b адаптации модели. На этапе 14а интерпретации испытания и этапе 14b адаптации модели заранее известные 'исторические данные' (имеющие 'известные исторические результаты') вводятся в 'компьютерную модель' 20а. В соответствии с этим 'компьютерная модель' 20а выдает 'результаты'. 'Результаты', выданные 'компьютерной моделью' 20а, сравниваются с 'известными историческими результатами'. Если 'результаты' приблизительно равны 'известным историческим результатам', значит, 'компьютерная модель' 20а успешно прошла проверочное испытание, реализованное на этапе 14 проверки. Согласно фиг. 4 в этот момент времени процессор 22а начинает этап 18 прогнозирования, на котором может быть предсказано поведение коллектора в будущем. На этапе 18 прогнозирования в соответствии с определенными входными данными, которые могут включать в себя 'конкретную точку пространства' в коллекторе и 'конкретный момент времени в будущем', процессор 22а прогнозирует давление в коллекторе (а также другие данные о добыче) в 'конкретной точке пространства' в коллекторе и в 'конкретный момент времени в будущем'. В результате, процессор 22а может прогнозировать поведение коллектора в будущем в этой 'конкретной точке пространства' в коллекторе и в этот 'конкретный момент времени в будущем'. Прогноз, сформированный процессором 22а на этапе 18 прогнозирования (т.е. давление и другие данные о добыче в коллекторе в 'конкретной точке пространства' и в 'конкретный момент времени в будущем'), отражается на выходной записи 22b1, которая записывается или отображается на устройстве 22b записи или отображения инструмента GREAT, согласно фиг. 3.
Обращаясь к фиг. 4 и 7-11, вспомним из фиг. 4, что процессор 22а осуществляет этап 20 аналитического механизма. На этапе 20 аналитического механизма согласно фиг. 4 входные данные 24 используются процессором 22а для формирования 'компьютерной модели' 20а. 'Компьютерная модель' 20а формируется процессором 22а на этапе 20 аналитического механизма следующим образом.
Согласно фиг. 7 на этапе 20 аналитического механизма входные данные 24 принимаются для использования на этапе 12а инициализации модели. На этапе 12а инициализации модели в соответствии с входными данными 24 калькулятор 12а давления вычисляет совокупность значений давления в одном слое коллектора в одном измерении (1D), например вдоль оси х, в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени'. Для примера, на фиг. 8 изображен коллектор, в котором совокупность значений 28 давления в одном слое коллектора вычислена калькулятором 12а давления в одном измерении (1D), например вдоль оси х, в одной точке пространства' и в 'один момент времени'. Согласно фиг. 7 на этапе 26 многослойного цикла вычисляется совокупность значений давления в множественных слоях коллектора в одном измерении (1D), например вдоль оси х, в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени'. Для примера, на фиг. 9 изображен коллектор, в котором совокупность значений 30, 32, 34 давления в множественных слоях 36а, 36b, 36с коллектора вычислена в одном измерении (1D), например вдоль оси х, в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени'. Согласно фиг. 7 на этапе 38 интегрируемой функции источника давления вычисляется совокупность значений давления в множественных слоях коллектора в двух измерениях (2D), например вдоль оси х и оси у, в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени'. Для примера, на фиг. 10 изображен коллектор, в котором совокупность значений 30, 32, 34 давления вдоль оси х множественных слоев 36а, 36b, 36с и совокупность значений 40, 42, 44 давления вдоль оси у множественных слоев 36а, 36b, 36с коллектора вычислена в двух измерениях (2D), например вдоль оси х и оси у, в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени'. Согласно фиг. 7 интегрируемая функция 46 границы давления вычисляет совокупность значений давления в множественных слоях коллектора в трех измерениях (3D), например вдоль оси х и оси у и оси z, в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени'. Для примера, на фиг. 11 изображен коллектор, в котором совокупность значений 30, 32, 34 давления вдоль оси х множественных слоев 36а, 36b, 36с, и совокупность значений 40, 42, 44 давления вдоль оси у множественных слоев 36а, 36b, 36с, и совокупность значений 48, 50, 52 давления вдоль оси z множественных слоев 36а, 36b, 36с коллектора вычислена в трех измерениях (3D), например вдоль оси х и оси у и оси z, в 'одной точке пространства' и в 'один момент времени'. Согласно фиг. 7 интегрируемая функция 54 начального давления вычисляет совокупность значений давления в множественных слоях коллектора в трех измерениях (3D), например вдоль оси х и оси у и оси z. Каждое из совокупности значений давления, вычисленное посредством интегрируемой функции 54 начального давления, связано с 'одной точкой пространства'. Однако интегрируемая функция 54 начального давления также вычисляет совокупность значений давления в множественных слоях коллектора в трех
- 10 -
009953
измерениях (3D) в 'любой момент времени в будущем'.
Подробное описание изобретения
Нижеследующий раздел 'Подробное описание изобретения' настоящего описания изобретения обеспечивает 'документ подробного описания изобретения', в котором раскрыта конструкция аналитического механизма 20, согласно фиг. 4. Этот 'документ подробного описания изобретения', который представляет собой 'сводку аналитических решений', представлен ниже.
Математические операции специальных функций
1. Диффузионный режим переноса тепла, массы и давления
1.1 Закон потока и дифференциальное уравнение диффузии в одном измерении
1.2 Диффузия давления в трехмерной пористой среде
2. Интегральные преобразования и формулы соответствующих обратных преобразований
2.1 Преобразование Лапласа
2.2 Преобразование Фурье
2.3 Конечные преобразования Фурье
2.4 Преобразования Ганкеля и Вебера
2.5 Конечные преобразования Ганкеля
3. Полубесконечная среда
3.1 Среда ограничена плоскостью х=0 и распространяется до оо в положительном направлении оси х. При х=0 p(0,t)=0, для всех t> 0 и р стремится к нулю при х-> оо. Начальное давление р(х,0)=0.
3.2 Задача 3.1, за исключением того, что при t=0 р(х,0)=ф(х), ф(х) и ее производная стремятся к 0 при х-"со.
3.3 Задача 3.1, за исключением того, что при t=0 p(x,0)=pi, константа для всех х> 0.
3.4 Задача 3.1, за исключением того, что при х=0 р (0, t) =\[/(t) , произвольная функция времени. Начальное давление р(х,0)=0.
3.5 Задача 3.1, за исключением того, что при х=0
- 11 -
009953
р (0, t) =i|/ (t) , произвольная функция времени. Начальное давление
р(х,0)=ф(х); ф(х) и ее производная по х стремятся к нулю при х-"оо.
3.6 Задача 3.1, за исключением того, что при х=0
p(x,0)=pi, константа для всех х> 0.
3.7 Задача 3.1, за исключением того, что при х=0
ф(0,/)_Л dp(x,t)
существовании границы без потока, то есть
= 0,
-*0
дх дх при х оо. Начальное давление р(х,0)=0.
3.8 Задача 3.7, за исключением того, что при t=0 р(х,0)=ф(х); ф(х) и ее производная стремятся к нулю при х -" оо.
3.9 Задача 3.7, за исключением того, что при t=0 p(x,0)=pi, константа для всех х> 0.
3.10 Задача 3.7, за исключением того, что при х=0 ф(0,0 ( и\ , л
---~\~ку^'' произвольная функция времени. Начальное
давление р(х,0)=0.
3.11 Задача 3.7, за исключением того, что при х=0 dp(0,t) (/Л , *
---= -| - \y/{t) , произвольная функция времени. Начальное
дх \к j
давление р(х,0)=ф(х); ф(х) и ее производная по х стремятся к нулю при х -> оо.
ф(0,0 ( и\
3.12 Задача 3.1, за исключением того, что --- = -| --
произвольная функция времени. Начальное давление p(x,0)=pi, константа для всех х> 0.
ф(0,о
3.13 Задача 3.1, за исключением того, что
-Ap(0,t) = Q .
Начальное давление р(х,0)=0.
3.14 Задача 3.13, за исключением того, что при t=0 р(х,0)=ф(х); ф(х) и ее производная стремятся к нулю при х -> оо.
3.15 Задача 3.13, за исключением того, что при t=0 p(x,0)=pi, константа для всех х> 0.
3.16 Задача 3.13, за исключением того, что при х=0
- 12 -
009953
-^^-Ap(0,t) = ~{jj~Sjv/W' пРоизв°льная функция времени. Начальное
давление р(х,0)=0.
3.17 Задача 3.13, за исключением того, что при х=0
- Zp(0,t) =-^^/(t) , произвольная функция времени. Начальное
давление р(х,0)=ф(х); ф(х) и ее производная по х стремятся к нулю при х -> оо.
3.18 Задача 3.1, за исключением того, что при х=0
давление p(x,0)=pi, константа для всех х> 0. 4. Ограниченная среда
4.1 Среда ограничена плоскостями х=0 и х=а. р(0, t)=р{a,t)=0. Начальное давление р(х,0)=0.
4.2 Задача 4.1, за исключением того, что при t=0 р(х,0)=ф(х), произвольная функция х, 0 <х <а.
4.3 Задача 4.1, за исключением того, что на краях х=0 и х=а, давления равны vy0(t) и v|/e(t) , произвольные функции времени. Начальное давление р(х,0)=0, 0 <х <а.
4.4 Задача 4.1, за исключением того, что на краях х=0 и х=а давления равны vyo(t) и \|/a(t), произвольные функции времени. Начальное давление р(х,0)=ф(х), произвольная функция х, 0 <х <а.
4.5 Задача 4.1, за исключением того, что при х=0 p(0,t)=0 dp(a,t)
и при х=а
= 0. Начальное давление р(х,0)=0, 0 <х <а.
4.6 Задача 4.5, за исключением того, что при х=0 p(0,t)=0 dp(a,t)
при
х=а
= 0. Начальное давление р(х,0)=ф(х),
произвольная функция х, 0 <х <ог.
4.7 Задача 4.5, за исключением того, что при х=0
p(0,t)=\|/0(t) и при х=а др(-^ = -[tf\y/a{t), \|/0(t) и \j/e(t) -
дх \к J
произвольные функции времени. Начальное давление р(х,0)=0 0 <х <о\
- 13 -
009953
4.8 Задача 4.5, за исключением того, что при х=0
P(0,t)=\|f0(t) и при х=а = ~[^У^' V°(t) и ^e(t) -
произвольные функции времени. Начальное давление р (х, 0) :=(р (х) , произвольная функция х, 0 <х <ог.
4.9 Задача 4.1, за исключением того, что при х=0 p(0,t)=0
и при х=а dff(a"0 + Xap{a,t) = 0 . Начальное давление р(х,0)=0, 0 <х <а. дх
4.10 Задача 4.9, за исключением того, что при х=0 p(0,t)=0 dp(a,t)
и при х=а
+ Aap(a,t) = 0. Начальное давление р (х, 0)-~ <р (х) ,
произвольная функция х, 0 <х <о\
4.11 Задача 4.9, за исключением того, что при х=0
p(0,t)=\|/0(t) и при х=а др(^'КAap(a,t) = "(j^CO • Vo(t) и ijMt) -
произвольные функции времени. Начальное давление р(х,0)=0, 0 <х <о\
4.12 Задача 4.9, за исключением того, что при х=0 p(0',t)=n|/0(t) и при х=а +Aap(a,t) = ~(у)у,(0 • Vo(t) и v]/*(t) -
произвольные функции времени. Начальное давление р(х,0)=ф(х) , произвольная функция х, 0 <х <а.
4.13 Задача 4.1, за исключением того, что на краях имеем
. dp(0j) "
граничные условия без потока, то есть при х=и * ' = и, и при
х=а ^Р(д"0 _q ш Начальное давление р(х,0)=0, 0 <х <о\ дх
4.14 Задача 4.13, за исключением того, что при х=0 dp(0,t) Л dp(a,t) Л
--= 0 и при х=а -j?-i-- = 0. Начальное давление р (х, 0) =ф (х) ,
дх дх
произвольная функция х, 0 <х <а.
4.15 Задача 4.13, за исключением того, что при х=0 dp(0,t) ( (1 \ _ dp{a,t) [ /л
j\Vo(t) и при х=а
Va(0 ¦ Vo(t) И \|/"(t)
дх \ к) дх ук,
произвольные функции времени. Начальное давление р(хг0)=0,
0 <х <а.
- 14 -
009953
4.16 Задача 4.13, за исключением того, что при х=0
ММ = -(|)М,) и при х=а V"(t) и v.(t) -
произвольные функции времени. Начальное давление р (х, 0) ==ср (х) , произвольная функция х, 0 <х <о\
4.17 Задача 4.1, за исключением того, что при х=0 д,Р(0"0 = О
и при к=а p(cr, t)=0. Начальное давление р(х,0)=0, 0 <х <а.
4.18 Задача 4.17 за исключением того, что при t=0 р(х,0)=ф(х), произвольная функция х, 0 <х <о?.
4.19 Задача 4.17, за исключением того, что при х=0
^?^ = -^j^o(0 и ПРИ х=а р(а, t)=\|/a(t) . vj/0(t) и \\ia(t)
произвольные функции времени. Начальное давление р(х,0)=0, 0 <х <о\
4.20 Задача 4.17, за исключением того, что при х=0
ф(0,о (ц
y/0(t) и при х=а р (a, t)=\|/tf(t) . v|/0(t) и \|/a(t]
произвольные функции времени. Начальное давление р (х, 0) ==ф (х) , произвольная функция х, 0 Ф(0,0
4.21 Задача 4.1, за исключением того, что при х=0
= 0
и при х=а dp(a,t) + Хар{а,() = 0 . Начальное давление p(x,0)=0, 0 4.22 Задача 4.21, за исключением того, что при х=0 Ф(0,0 п dp(a,t) . , . .
-= 0 и при х=ог --+ Aap(a,t) = 0. Начальное давление
дх дх
р(х,0)=ф(х), произвольная функция х, 0 4.23 Задача 4.21, за исключением того, что при х=0
^?^ = -^^о(0 и при х=а ^^ + Xap(aj) = -{^ya{t) r vj/0 (t) и v|/"(t)
- произвольные функции времени. Начальное давление р(х,0)=0, 0 4.24 Задача 4.21, за исключением того, что при х=0
" при x=a ^2 + ^-(fU- Volt) и vMt)
- 15 -
009953
- произвольные функции времени. Начальное давление р(х,0)=ф(х), произвольная функция х, 0 <х <а.
4.25 Задача 4.1, за исключением того, что при х=0
Ф(0,0 ¦X0p(Q,t) = Q и при х=а dffC^O + Xap(a,f) = 0 . Начальное давление
4.2 6 Задача 4.25, за исключением того, что при х=0
Ф(0> 0 _ л^рф ^ - Q и ПрИ х=а Ф(д> 0 + Xap(a,t) = 0 . Начальное давление дх дх
р(х,0)=ф(х), произвольная функция х, 0 <х <а.
4.27 Задача 4.25, за исключением того, что при х=0
^|^-V(0,0 = -[f]^o(0 и при х=а ^^^Xap{aj) = -[^ya{t)- Vo(t)
и V|/a(t) - произвольные функции времени. Начальное давление р(х,0)=0, произвольная функция х, 0 <х <а.
4.28 Задача 4.25, за исключением того, что при х=0
x=^-V(0,0 = -(f)nW и при х=а Ш> +^а.,)-[^0.
\|/o(t) и V|/a(t) - произвольные функции времени. Начальное давление р(х,0)=ф(х), произвольная функция х, 0 <х <а.
4.2 9 Задача 4.1, за исключением того, что при х=0
Ф(0,0
-/^(О,/) = 0 и при х=а р (a, t) =0 . Начальное давление
р(х,0)=0, 0 <х <а.
4.30 Задача 4.29, за исключением того, что при х=0
Ф(о,0
-A0p(0,t) = 0 и при х=а р{а, t)=0. Начальное дазление
р(х,0)=ф(х), произвольная функция х, 0 <х <а.
4.31 Задача 4.2 9, за исключением того, что при х=0
др^^ - Avp(0,t) = "(j^oCO и ПРИ х=а p(a,t)=\|/"(t) . vj/o(t) и фа (t) -
произвольные функции времени. Начальное давление р(х,,0)=0, 0 <х <а.
4.32 Задача 4.29, за исключением того, что при х=0
- 16 -
009953
Ф(0,0 _ ^p(Q^ = J ? \y/0(t) и при х=а p(of,t}=\|/e(t) . vf/0(t) и i|/"(t) -дх yk)
произвольные функции времени. Начальное давление р(х,0)~ср(х), произвольная функция х, 0 <х <о\
4.33 Задача 4.1, за исключением того, что при х=0
начальное давление
dp(Q,t) я ,Л ч Л Ф(а,0 Л
- - - - -/tp/7(u,f) = и и при х=а ' =и
р(х,0)=0, 0 <х <а.
4.34 Задача 4.33, за исключением того, что при х=0
Ф(0"0 _ j^p(Q^ _ Q и ПрИ х=А Ф(Д> 0 _ Q ^ Начальное давление
р(х,0)=ф(х), произвольная функция х, 0 <х <а.
4.35 Задача 4.33, за исключением того, что при х=0
^-ЛР(0,0 = -(?Ц(0 и при х=а ^й.^у.(0. "0(t) и ?"
- произвольные функции времени. Начальное давление р(х,0)=0, произвольная функция х, 0 <х <а.
4.36 Задача 4.33, за исключением того, что при х=0
^> -ЛР(0,/) = -(|)п" и при х=а Ш1 = -^уЛ0. "",6) и v.(t)
- произвольные функции времени. Начальное давление р(х,0)=ф(х), произвольная функция х, 0 <х <ог.
5. Каскадная среда
5.1 К связных сред с^ <х <с^-ц, Vj = 0, 1, К-1. При х=а0
^ йх' ^ = ~(V0 ^ И Х=С*К ^ =~(^Л х^ * На гРанице РазДела
Гф,(ау,0]
1 J
I & J
x=ajf Vj=l, 2, К-1, Vj(t) = -
Ajy/j(t) = {pj_x(aj,t)-Pj(ctj,t)} , t> 0. Начальное давление pj(x,0)=0.
5.2 Задача 5.1, за исключением того, что начальное давление р^{х, Q)=q> ^{x) .
5.3 Задача 5.1, за исключением того, что при х="к р (а$, t) =1|/к (t) . Начальное давление p-j (х, 0) =ф-) (х) .
5.4 Задача 5.1, за исключением того, что при х=а^
- 17 -
009953
Ф(дк"0 +A^p(a ty = AHl\y m Начальное давление р-j (x, 0) =cp-j (x) . дх \k) *
5.5 Задача 5.1, за исключением того, что ах -> 00/• то есть последняя среда является полубесконечной. Начальное давление Pj (х, 0) =ср-} (х) .
5.6 Задача 5.1, за исключением того, что при х=ао=,
Ф(вц.О _ (и\
р (ar0, t) =\])0 (t) и при х=ак, и при х="к
К (О
дх {к
Начальное давление р-j (х, 0) =q)j (х) .
5.7 Задача 5.1, за исключением того, что при х=ао р (а0, t) =ц> о (t) и при х="к Р ("к, t) =\|/к (t) . Начальное давление Pj (х, 0) =q> j (х) .
5.8 Задача 5.1, за исключением того, что при х=а0 p(a0/t)=\|/0(t) и при x=ax ^^^ +4j9(ax,0 = -^^Ок(0 Начальное
давление р-j (х, 0) = 5.9 Задача 5.1, за исключением того, что при х=а0 р {ао, t) =ц> о (t) и ак -> оо, то есть последняя среда является полубесконечной. Начальное давление р-j (х, 0) = 5.10 Задача 5.1, за исключением того, что при х=ао
давление pj ^х, и; =cpj [Х) .
5.11 Задача 5.1, за исключением того, что при х=а0
- A^piOj) =-^yo(t) и при x=aK р ("к, t) =\|/к (t) . Начальное
давление pj(х, 0)=(|> j (х) .
5.12 Задача 5.1, за исключением того, что при х=о,о
*М-ЛЖ0 = -(ф(0 и при *^й+^.о.^?^(,).
Начальное давление pj (х,0)=q)j (х) .
5.13 Задача 5.1, за исключением того, что при х=о,0
~ \р((r)> 0= Vo(0 и о?к -> • оо, то есть последняя среда
- 18 -
009953
является полубесконечной. Начальное давление pj (х, 0) =cpj (х) . 6. Полубесконечный квадрант
6.1 Среда ограничена плоскостями х=0 и у=0; х и у распространяются до оо в положительных направлениях осей х и у. При х=0 p(0,y,t)=0, у> 0, t> 0 и при у=0, p(x,0,t)=0, х> 0, t> 0. р стремятся к нулю при х -> со и у -> оо. Начальное давление р(х,у,0)=0.
6.2 Задача 6.1, за исключением того, что р (х, у, 0) =ф (х, у) ; ф(х,у) и ее производные по х и у стремятся к нулю при х -> • оо и у -" со, соответственно.
6.3 Задача 6.1, за исключением того, что р(х,у,0)=pi, константа для всех х> 0 и у> 0.
6.4 Задача 6.1, за исключением того, что для всех t> 0, р (0, у, t) =V|/y (у, t) , у> 0 и р (х, 0, t) =\\ix (х, t) , х> 0. Начальное давление р(х,у,0)=ф(х,у); ф(х,у) и ее производные по х и у стремятся к нулю при х -> оо и у -> оо, соответственно.
6.5 Задача 6.4, за исключением того, что p(x,y,0)=pi, константа для всех х> 0 и у> 0.
dp(x,0,t)
6.6 Задача 6.1, за исключением того, что
= 0 и
p(0,y,t)=0. Начальное давление равно нулю.
6.7 Задача 6.6, за исключением того, что р(х,у,0)=ф(х,у); ф(х,у) и ее производные по х и у стремятся к нулю при х -" оо и у -> оо, соответственно.
6.8 Задача 6.6, за исключением того, что p(x,y,0)=pi, константа для всех х> 0 и у> 0.
6.9 Задача 6.6, за исключением того, что для всех t> 0,
dp(x,0,t)
y/x(x,t), х> 0 и р (0, у, t) -\\1У (у, t) , у> 0. Начальное
давление р(х,у,0)=ф(х, у) ; ф(х,у) и ее производные по х и у стремятся к нулю при х -> оо и у -" оо, соответственно.
6.10 Задача 6.9, за исключением того, что p(x,y,0)=pi, константа для всех х> 0 и у> 0.
- 19 -
009953
6. 11 dp(x,0,t) ду
Задача 6.1, за исключением того, -Ap(x,0,t) = 0 и p(0,y,t)=0. Начальное давление равно нулю.
что
6.12 Задача 6.11, за исключением того, что р(х,у,0)=ф(х,у); ф(х,у) и ее производные по х и у стремятся к нулю при х -> оо и у -> оо, соответственно.
6.13 Задача 6.11, за исключением того, что р(х,у,0)=pi, константа для всех х> 0 и у> 0.
6.14 Задача 6.11, за исключением того, что для всех t> 0,
dp(x,0,t)
¦Ap(x,0,t) = -
y/x(x,t), х> 0
p(0,y,t)=\|/y(y,t), у> 0.
Начальное давление р(х,у,0)=ф(х,у); ф(х,у) и ее производные по х и у стремятся к нулю при х -> оо и у -> оо, соответственно.
6.15 Задача 6.11, за исключением того, что при t=0 p(x,y,0)=pi, константа для всех х> 0 и у> 0.
6.16 Задача 6.1, за исключением того, что при х=0
dp(0,y,t) п п dp(x,0,t) Л
---- = 0 и при у=0 -- = 0. Начальное давление равно нулю.
дх ду
6.17 Задача 6.16, за исключением того, что р(х,у,0)=ф(х,у); ф(х,у) и ее производные по х и у стремятся к нулю при х -"оо и у -> оо, соответственно.
6.18 Задача 6.16, за исключением того, что p(x,y,0)=pi, константа для всех х> 0 и у> 0.
6.19 Задача 6.16, за исключением того, что для всех t> 0,
dp(0,y,t) дх
f \ Л
Vy(yJ), У> 0 и
dp(x,0,t) ду
Kkyj
y/x(x,t), х> 0. Начальное
давление р(х,у,0)=ф(х,у); ф(х,у) и ее производные по х и у стремятся к нулю при х -> оо и у -> оо, соответственно.
6.20 Задача 6.16, за исключением того, что p(x,y,0)=pi, константа для всех х> 0 и у> 0.
dp(0,y,t)
6.21 Задача 6.1, за исключением того, что dp(x,0,t)
=0 и при
-Ap(x,0,t) = 0 . Начальное давление равно нулю.
- 20 -
009953
6.22 Задача 6.23, за исключением того, что р(х,у,0)=ф(х,у); ф(х,у) и ее производные по х и у стремятся к нулю при х -> со и у -" со, соответственно.
6.23 Задача 6.23, за исключением того, что р(х,у,0)=pi, константа для всех х> 0 и у> 0.
6.24 Задача 6.21, за исключением того, что для всех t> 0,
др(0,У,0 дх
Y К^о > у> 0
и ^M-Ap(x,0,t) = -ду
\kyJ
y/x(x,t) , х> 0.
Начальное давление р (х,у,0)=ф(х, у) ; ф(х,у) и ее производные по х и у стремятся к нулю при х -" оо и у -> со, соответственно.
6.25 Задача 6.24, за исключением того, что при t=0 p(x/y,0)=pI, константа для всех х> 0 и у> 0.
6.26 Задача 6.1, за исключением того, что при х=0
8p(°,y,t)-Axp(0,y,t) = 0 и при у=0 dp(*,0,t^ -AyP(x,Q,t) = 0 . Начальное
давление равно нулю.
6.27 Задача 6.26,
за исключением того, что р(х,у,0)=ф(х,у); ф(х,у) и ее производные по х и у стремятся к нулю при х -> оо и у -> оо, соответственно.
6.28 Задача 6.26, за исключением того, что p(x,y,0)=pi, константа для всех х> 0 и у> 0.
6.29 Задача 6.26, за исключением того, что для всех t> 0,
др(0,У,0 , _,п ^
-~--лхРК",У,Ч
\kxJ
...... ФОАО , _,"ЛЛ_
Vy\y,4i У-> и и----лурул,\),1) =
f \
fffx{x,t),
х> 0. Начальное давление р(х,у,0)=ф(х,у); ф(х,у) и ее
производные по х и у стремятся к нулю при х -> оо и у-> оо, соответственно.
6.30 Задача 6.26, за исключением того, что p(x,y,0)=pi,
7. Полубесконечная ламель
7.1 Среда ограничена плоскостями х=0, у=0 и y=b; х --> оо в положительном направлении оси х, p(0,y,t)=0, для 0 0 и p(x,0,t)=p(x,b,t)=0, для всех х> 0, t> 0. р стремится к нулю при х -" оо. Начальное давление равно нулю.
- 21 -
009953
7.2 Задача 7.1, за исключением того, что при t=0 р(х,у,0)=ф(х,у); ф(х,у) и ее производная по х стремятся к нулю при х -> оо.
7.3 Задача 7.2, за исключением того, что р(х,у,0)=рг, pIf константа для всех х> 0, 0 <у <Ь.
7.4 Задача 7.1, за исключением того, что t> 0, 0 0, p(x,0,t)=yx0(x,t) , р (x,b, t) =\|/xb [x,t) . Начальное давление p(x,у,0)=ф(x,у); ф(х,у) и ее производная по х стремятся к нулю при х -> оо.
7.5 Задача 7.4, за исключением того, что при t=0 p(x,y,0)=pi, pi, константа для всех х> 0, 0 <у <Ь.
7.6 Задача 7.1, за исключением того, что
ФОЛ о
\kyj
yx0(x,t) , p(x,b,t)=i|/xb(x,t) , и p(0,y,t)=Vy !y,t) .
Начальное давление р(х,у,0)=ф(х,у) ; ф(х,у) и ее производная по х стремятся к нулю при х -> оо.
7.7 Задача 7.6, за исключением того, что начальное давление p(x,y,0)=pi, константа.
7.8 Задача 7.1, за исключением того, что
ФОА0 ду
-Ax0p(x,0,t) = л
p(x,b,t)=i|/xb(x,t)
р (0, у, t) =v|/y (у, t) . Начальное давление р (х, у, 0) =ф (х, у) ; ф(х,у) и ее производная по х стремятся к нулю при х -> со.
7.9 Задача 7.8, за исключением того, что р(х,у,0)=р1/ константа.
7.10 Задача 7.1, за исключением того, что dp(x,b,t)
p(x,0,t)=yx0(x,t) ,
\kyj
y/xb(x,t) и p(0,y,t)=\|/y(y,t)
Начальное давление р(х,у,0)=ф(х,у); ф(х,у) и ее производная по х стремятся к нулю при х -> оо.
7.11 Задача 7.10, за исключением того, что р(х,у,0)=р1, константа.
7.12 Задача 7.1, за исключением того, что
- 22 -
009953
др(х,0,0
( \ ? dp(x,b,t) ду
f \
\kyJ
y/xb(x,t) и p(0,y,t)=i|/y(y,t)
Начальное давление р (х,у, 0) =ср (х, у) ; ф(х,у) и ее производная по х стремятся к нулю при х -> • со.
7.13 Задача 7.12, за исключением того, что p(x,y,0)=pi, константа.
7.14 Задача 7.1, за исключением того, что
dp(x,0,t) ду
- Лх0р(х,0,0 = \kyj
dp(x,b,t) ду
( \
\kyJ
p(0,y,t)=\|/y(y, t) . Начальное давление р (х, у, 0) =ф (х, у) ; ф(х,у) и ее производная по х стремятся к нулю при х -> • со.
7.15 Задача 7.14, за исключением того, что p(x,y,0)=pi, константа.
7.16 Задача 7.1, за исключением того, что
dp(x,b,t)
р(х, 0, t) =yxo (х, t) ,
+ Axbp(x,b,t) = -
\kyj
р (0, у, t) =i)/y (у, t) . Начальное давление р (х, у, 0) =ф (х, у) ; ф(х,у) и ее производная по х стремятся к нулю при х -> со.
7.17 Задача 7.16, за исключением того, что р(х,у,0)=pi, константа.
7.18 Задача 7.1, за исключением того, что
др(х,0,0
\kyJ
dp(x,b,t) ду
+ Axbp(x,b,0 = -
( \ Л
\ку J
?xb{x,t)
р(0,у,t)=фу(у, t) . Начальное давление р(х,у,0)=ф(х,у); ф(х,у) и ее производная по х стремятся к нулю при х -> со.
7.19 Задача 7.18, за исключением того, что р(х,у,0)=pi, константа.
7.20 Задача 7.1, за исключением того, что
др(х,0,0 ду
-XxOp(x,0,t)
\ку;
V*i*,t). dpiX'b't)+XxbP{x,b,t) = -ду
\ку
р (0, у, t) =ц)у (у, t) . Начальное давление р (х, у, 0) =ф (х, у) ; ф(х,у) и ее производная по х стремятся к нулю при х -> со.
7.21 Задача 7.20, за исключением того, что p(x,y,0)=pi,
- 23 -
009953
константа.
7.22 Задача 7.1, за исключением того, что
Vy(y,t), p(x,0,t)=\|/x0(x,t) и p(x,b,t)=\|/xb(x,t)
Начальное давление р (х, у, 0) =ср (х, у) ; ф(х,у) и ее производная по
7.23 Задача 7.22, за исключением того, что p(x,y,0)=pi, константа.
7.24 Задача 7.1, за исключением того, что
др(х,0,0 ду
\kyj
VxoiX'O ' p(x,b,t)=V|/xb(x,t) и
dp(0,y,t) дх
{ \
\к*;
Начальное давление р(х,у,0)=ф(х, у) ; ф(х,у) и ее производная по х стремятся к нулю при х -> со.
7.25 Задача 7.24, за исключением того, что p(x,y,0)=pi, константа.
7.26 Задача 7.1, за исключением того, что др(х,0,0
dp{0,y,t) дх
- AxQp(x,0,t) =
\kyJ
p(x,b,t)=V|/xb(x, t)
\kxJ
y/Jy,t). Начальное давление p (x, у, 0) =ф (x, у) ; ф(х,у)
и ее производная по х стремятся к нулю при х -> со.
7.27 Задача 7.26, за исключением того, что p(x,y,0)=pi, константа.
7.28 Задача 7.1, за исключением того, что
р (х, 0, t) =\|/х0 (х, t) , dp(x,b,t) ду
\kyj
y/xb(x,t) и
dp(0,y,t) дх
\k*J
?Y(yJ) ¦
Начальное давление р(х,у,0)=ф(х,у); ф(х,у) и ее производная по х стремятся к нулю при х -> со.
7.29 Задача 7.28, за исключением того, что р(х,у,0)=pi, константа.
7.30 Задача 7.1, за исключением того, что
dp(x,0,t) ду
{ \
\ку;
dp(x,b,t) ду
\kyj
y/lb(x,t) и
dp(0,y,t) дх
\kxJ
- 24 -
009953
Начальное давление р (х, у, 0) =ср (х, у) ; ф(х,у) и ее производная по х стремятся к нулю при х -> со.
7.31 Задача 7.30, за исключением того, что p(x,y,0)=pi, константа.
7.32 Задача 7.1, за исключением того, что
dp(x,0,t) ду
-Ax0p(x,0,t)
dp(x,b,t) ду
\kyj
dp(0,y,t) (ц
Wy(.yJ) • Начальное давление р (х, у, 0) =ф (х, у) ; ф(х,у)
xxJ
и ее производная по х стремятся к нулю при х -> со.
7.33 Задача 7.32, за исключением того, что p(x,y,0)=pi, константа.
7.34 Задача 7.1, за исключением того, что
р(х, 0,t)=v|/x0(x, t) , dp(0,y,t)
dp(x,b,t) ду
+ Axbp(x,b,t) =-
\kyj
Wxb(x,0
\ X /
y/Jy,t) • Начальное давление p (x, у, 0) =ф (x, у) ; ф(х,у)
и ее производная по х стремятся к нулю при х -> со.
7.35 Задача 7.34, за исключением того, что р(х,у,0)=pi, константа.
7.36 Задача 7.1, за исключением того, что
dp(x,0,t) ду
др(0,у,0 дх
( \ Е
\kyJ
\kxJ
Vxo(x> t) ,
dp(x,b,t) ду
+ Axbp(x,b,t) =
\kyj
Vxb(X> 0
y/ (y,t). Начальное давление p (x, у, 0) =ф (x, у) ; ф(х,у)
и ее производная по х стремятся к нулю при х -> со.
7.37 Задача 7.36, за исключением того, что p(x,y,0)=pi, константа.
7.38 Задача 7.1, за исключением того, что
dp(x,0,t) ду
dp(0,y,t) дх
-Xx0p(x,0,t) = -
\ку J
\kxJ
y/ (y,t). Начальное давление р (х, у, 0) =ф (х, у) ; ф(х,у)
- 25 -
009953
и ее производная по х стремятся к нулю при х -> оо.
7.39 Задача 7.38, за исключением того, что p(x,y,0)=pi, константа.
7.40 Задача 7.1, за исключением того, что р (х, 0, t) =\|/х0 (х, t) , p(x,b,t)=yxb(x,t) и dp(0,y,t)
¦Ayp(0,y,t) = -
f \ Е
\kxJ
vv(y,t)
Начальное
давление
р (х,у,0)=ф(х,у); ф(х,у) и ее производная по х стремятся к нулю при х -" оо.
7.41 Задача 7.40, за исключением того, что р(х,у,0)=pi, константа.
7.42 Задача 7.1, за исключением того, что
ФОА0
др(0,У,0 дх
¦Avp(0,y,t) = -
\kxj
Vv{y,t) •
p(x,b,t)=v|/xb(x,t)
Начальное
давление
р(х,у,0)=ф(х,у); ф(х,у) и ее производная по х стремятся к нулю при х -> оо.
7.43 Задача 7.42, за исключением того, что р(х,у,0)=р;[, константа.
7.44 Задача 7.1, за исключением того, что
dp(0,y,t) дх
- Лх0р(х,0,() =--Avp(0,y,t) = -
( \ Л.
\kyJ
( \
\kxJ wXy,t)
p(x,b,t)=v|/xb(x, t)
Начальное
давление
p(x,у,0)=ф(x,у); ф(х,у) и ее производная по х стремятся к нулю при х -> 00.
7.45 Задача 7.44, за исключением того, что р(х,у,д)=р1г константа.
7.4 6 Задача 7.1, за исключением того, что
р (х, 0, t) =фхо (х, t) , dp(x,b,t) ду
( \
\ky J
- 26 -
009953
dp(0,y,t) дх
-Ayp(0,y,t) = -
Vy(y,t)
Начальное
дазление
p (x, у, 0) =ф (х, у) ; ф(х,у) и ее производная по х стремятся к нулю при х -> со.
7.47 Задача 7.4 6, за исключением того, что p(x,y,0)=pi, константа.
7.4 8 Задача 7.1, за исключением того, что
dp(x,0,t) ду
др(0,у,0 дх
\kyj
dp(x,b,t) ду
\kyJ
Avp(0,y,t)-
KkxJ ?v{y,t)
Начальное
давление
р(х,у,0)=ф(х,у); ф(х,у) и ее производная по х стремятся к нулю при х -> со.
7.49 Задача 7.48, за исключением того, что p(x,y,0)=pi, константа.
7.50 Задача 7.1, за исключением того, что
Ф(*А0
dp(0,y,t) дх
- Ax0p(x,0,t) ¦¦ -Ayp(0,y,t)
KkyJ ^оО> 0 '
dp(x,b,t) _ ду
KkyJ
VXb(x> t) и
vy(y,t)
Начальное
давление
р(х,у,0)=ф(х,у); ф(х,у) и ее производная по х стремятся к нулю при х -> со.
7.51 Задача 7.50, за исключением того, что p(x,y,0)=pi, константа.
7.52 Задача 7.1, за исключением того, что
dp{x,b,t)
р (X, 0, t) =фх0 (х, t) ,
dp(0,y,t)
¦ + Axbp(x,b,t) =
f \ И
\ку;
-Avp(0,y,t) = -
Т- \?yiy,t)
Начальное
давление
р(х,у,0)=ф(х,у); ф(х,у) и ее производная по х стремятся к нулю при х со.
7.53 Задача 7.52, за исключением того, что p(x,y,0)=pi, константа.
- 27 -
009953
7.54
ду др(0,у,0
( \ \kyj
Задача 7.1, за исключением dp(x,b,t)
что
¦ + АхЬр(х,Ь,0 =-
( \ Л
\kyJ
Ayp(0,y,t) =
yy(y,t)
Начальное
давление
р (х, у, 0) =ф (х, у) ; ф(х,у) и ее производная по х стремятся к: нулю при х -> оо.
7.55 Задача 7.54, за исключением того, что р(х,у,0)=р;[, константа.
7.56 dp(x,0,t)
Задача
др(0,У,0 дх
Ax0p(x,0,t) =
Ayp(0,y,t) =
\kyj
\kxJ
7.1,
Wxo(x,t),
vy(y,t)
за исключением того, dp(x,b,t)
что
+ Zxbp(x,b,t) =
Начальное
С \
\kyJ
y/xb(x,t) и
давление
р (х, у, 0)=ф(х,у); ф(х,у) и ее производная по х стремятся к нулю при х -" оо.
7.57 Задача 7.56, за исключением того, что p(x,y,0)=pi, константа.
8. Прямоугольник
8.1 Среда ограничена плоскостями х=0, х=а, у=0 и у=Ь. p(0,y,t)=0 и p(a,y,t)=0 для 0 0. Начальное давление равно нулю.
8.2 Задача 8.1, за исключением того, что при t=0, р (х, у, 0) =ф (х, у) ; ф(х,у) произвольная функция х и у, 0 <х <се и 0 <у <Ь.
8.3 Среда ограничена плоскостями х=0, х=а, у=0 и у=Ь. р (0, у, t) =v|/yo (у, t) и р {а, у, t) =1|/Уа(у, t) для 0 0. Начальное давление р(х,у,0)=ф(х,у).
8.4 Задача 8.3, за исключением того, что
dp{a,y,t)
p(0,y,t)=\|/yo(y,t) ,
\kxj
УЛУ'Ог p(x,0,t)=i(/xo(x,t) и
р (х, b, t) =V|/Xb (х, t) . Начальное давление р (х, у, 0) =ф (х, у)
- 28 -
009953
.5 Задача 8.3, за исключением того, что
dp(a,y,t)
p(0,y,t)=v|/y0(y,t) ,
V^x J
р (х, 0, t) =\|/х0 (х, t) и р (x,b, t) =фхЬ (х, t) . Начальное давление р(х,у, 0)=ф(х,у) .
8.3, за исключением того, что dp(a,y,t)
8. 6 Задача p(0,y,t)=i|/y0(y,t) ,
\kxJ
Ууа(У> 0 f p(x,0,t)=v|/yo (x,t) И
dp(x,b,t) ду
f \ VkyJ y/xb(x,t). Начальное давление p (x, у, 0) =ф (x, у)
/ x • V_/ f -a. J. w
p(0,y,t)=vj/y0(y,t) , dp(x,b,t)
¦ + Xxbp{x,b,t) =
f \ E
\kyJ
dp(a,y,t)
?xb(x,0
{fya О" 0 / p(X,0,t)=V]/x0(X,t) И
Начальное
давление
р(х,у,0)=ф(х,у) .
8.8 Задача 8.3, за исключением того,
что
p(0,y,t)=i|/y0(y,t) , dp(a,y,t) дх
+ ЛуаР(а,У> *) =
( \
\kxJ
p(x,0,t)=4/x0(x,t) и ЩМ + Лхьр(хМ =
( \
\ку J
y/xb(x,t) . Начальное
давление р(х,у,0)=ф(х,у).
8.9 Задача 8.3, за исключением того, что
p(0,y,t)=\|/yo(y,t) , p(ar,y,t)=\|/ye(y,t) , др(х,0,0 ду
f \ Е
\kyj \{/x0(x,t) и
р (х, b, t) =Ц)хъ (х, t) . Начальное давление р (х, у, 0) =ф (х, у)
p(0,y,t)=v|/y0(y,t) , dp(a,y,t) дх
( \
\кх)
Ууа(У> <) '
ФОА0 ду
г ^ Е
\kyj y/xQ{x,t) и
р (х, b, t) =i|/xb (х, t) . Начальное давление р (х, у, 0) =ф (х, у) .
8.11 Задача 8.3, за исключением того, что
- 29 -
009953
- 30 -
009953
р(х,у,0)=ф(х,у) .
8.17 Задача 8.3, за исключением того, что
dp(a,y,t)
p(0,y,t)=i|/y0(y,t) , dp(x,0,t)
\kxJ
( \ Е
\ку;
dp(x,b,t) ду
+ Axbp(x,b,t) =-
\ку J
y/xb(x,t). Начальное
давление р(х,у,0)=ф(х,у).
8.18 Задача 8.3, за исключением того, что
р (а, у, t) =ц1уа (у, t) ,
р (0, у, t) =V|/Y0 (у, t) , dp(x,0,t)
- Ax0p(x,0,t) = ¦
\kyJ
y/x0(xj) и р (х, b, t) =\|/хь (У, t) . Начальное
давление р(х,у,0)=ф(х,у).
8.19 Задача 8.3, за исключением того, что
p(0,y,t)=\|/y0(y,t) , dp(x,0,t)
dp{a,y,t) дх
( ..Л
\kxj
?уа(У> 0 >
-Ax0p(x,0,t)
f Е
\kyj
?хо(х> 1) и р (х, b, t) =фхь (У^ t) . Начальное
давление р(х,у,0)=ф(х,у).
8.20 Задача 8.3, за исключением того, что
dp(a,y,t)
p(0,y,t)=v|/y0(y,t) , dp(x,Q,t)
¦ + Ayap(a,y,t) = -
\kx )
¦ Лх0р(х,0,0 = ¦
\ky J
y/xQ(x,t) и p (x, b, t) =vj/xb (y, t) . Начальное
давление p(x,у,0)=ф(x,у).
8.21 Задача 8.3, за исключением того, что
р(а, y,t)=v)/ya(y, t) ,
dp(x,b, t)
p(0,y,t)=\|/y0(y,t) ,
-~--"xqHK*;V,4
\kyj
... г" *\ Гх0Ул'Ч "
кку J
\f/xb\X,f). Начальное
давление р(х,у,0)=ф(х,у).
8.22 Задача 8.3, за исключением того, что
p(0,y,t)=\|/y0(y,t) ,
dp{a,y,t) _ (j? к
- 31 -
009953
dp(x,0,t)
-Лх0р(х,0,0 = -
f л
\ку J
yx0{x,t) и
др(х, b, t) ду
f л Е
\ку J
y/xb(x,t) . Начальное
давление р (х, у, 0) =ср (х, у) .
8.23 Задача 8.3, за исключением того, что
dp(a,y,t)
р (0, у, t) =ц/у0 (у, t) , dp(x,0,t)
-Ax0p(x,0,t) =
\kyj y/x0(x,t) и
dp(x,b,t) ду
+ ^yaP(a,y,t) = -
f \ Е
kKj
Ккх J
y/xb(x,t). Начгшьное
давление р (х, у, 0) =ф (х, у) .
8.24 Задача 8.3, за исключением того,
p(0,y,t)=\j/y0(y,t) , dp{x,0,t)
что
р{а, y,t)=v|/ya(y,t) ,
-Ax0p(x,0,t) = -
( \ Е
\kyj
, ч dp(x,b,t) , , , ^
Wx0(x,t) и уу' +АхЬр(х,Ь,0 = -
\kyj
Начальное давление р(х,у,0)=ф(х, у) .
8.25 Задача 8.3, за исключением того,
dp(a,y,t)
что
p(0,y,t)=v|/y0(y,t) , dp(x,0,t)
-Xx0p(x,0,t) = -
\ку J
yx0{x,t) и др(х'Ь'° +AxbP(x,b,t) =
Укх J
( \ Е
\ку )
VyAy> 0 >
Начальное давление р(х,у,0)=ф(х, у) .
8.26 Задача 8.3, за исключением того,
что
p(0,y,t)=V|/yo(y,t) , dp{x,Q, t)
dp(a,y,t) дх
+ ^yaP{a,y,t) = -
( \ E
Ax0p(x,0,t) = -
( \
\ky )
, ч dp(x,b,t) . . , .
y/x0(x,t) и J+Axbp(x,b,t) = -
\ky J vAx> t) •
Начальное давление p(x,у,0)=ф(x, у) .
8.27 Задача 8.3, за исключением того,
что
dp(0,y,t) дх
\kxJ
Ууо(У,Ог р(а, y,t)=vj/ya(y,t)
dp(x,0,t) ду
\ку)
yx0(x,t) и
р(х,b,t)=фхь (у, t) . Начальное давление р(х,у,0)=ф(х,у) .
8.28 Задача 8.3, за исключением того,
что
- 32 -
009953
- 33 -
009953
- 34 -
009953
dp(0,y,t) дх
dp(x,0,t) ду
Vy0(y,t)r
¦Ax0p(x,0,t) =
( \ E
\kyj
ГА*,*) и dpiX'b> t)+Axbp(x,b,t) = -dy
p(a,y/t)=\|/ye(y,t),
r \ E
\kyj
Начальное давление p(x,у,0)=ф(x,у).
8.40 Задача 8.3, за исключением того, что
dp(0,y,t) дх
др(х,0, t)
\kxJ
- Ax0p(x,0,t) =
\ky J
dp(a,y,t) ^_ 5Л;
, dp(x,b,t) , . , .
y/x0(x,t) и ук' + Axbp(x,b,t) = -ду
ГЕЛ
\kxJ
( \ E
\ky J
Начальное давление p(x,у,0)=ф(x,у).
8.41 Задача 8.3, за исключением того, что
др(0,У,() дх
dp(x,0,t) ду
ГЕЛ
\kxJ
?уо(У,*)' Ax0p(x,0,t)
\kyj
y/x0{x,t) и dp(X'b't)+Xxbp(x,b,t) = -ду
f \
Vya(yj) ,
Начальное давление p(x,у,0)=ф(x,у).
8.42 Задача 8.3, за исключением того, что
dp(0,y,t)
дх dp(x,0,t)
-AyOp(0,y,t) = -¦AxOp(x,0,t) =
f \ E
\kx )
?уо(У> 0
p (a, y, t) =фу"(у, t) ,
VxoC^'O и P (x, b, t) =vj/xb (x, t) . Начальное
давление p(x,у,0)=ф(x,у).
8.4 3 Задача 8.3, за исключением того, что
др(0,у,0 дх
ФОА0
-ЛуоР@> У> *) = -- Ax0p(x,0,t) =
'Е-
\кх J
VyoiyJ),
dp{a,y,t) дх
( \
\кх )
y/xQ(x,t) и р (х, b, t) =V|/Xb (у, t) . Начальное
давление р(х, у,0)=ф(х,у) .
8.4 4 Задача 8.3, за исключением того, что
dp(0,y,t) дх
коР &У> {)
\кх J dp(a,y,t) дх
+ КаР(.а> У> *)\кх J
УуАУ,*) >
- 35 -
009953
ФОА0
¦AxQp(x,0,t) = ?
\kyj
Vxo(x> t) и Р (x,b, t) =\|/xb(y, t) . Начальное
давление р(х,у,0)=ф(х,у).
8.45 Задача 8.3,
dp(0,y,t)
др(хМ
-AyQp(0,y,t) =
г \ Л
\kxJ
?yQ{yJ)
за исключением того, что p(or,y,t)=\|/ye(y,t) ,
АоРОАО = -
( \ ?
\kyj
px0(x,t) и
др{х, b,t) ду
( \ ?
\ку)
y/xb(x,t). Начальное
давление р (х, у, 0) =ф (х, у) .
8.4 6 Задача 8.3,
dp(0,y,t)
исключением того,
что
dp(x,0,t) ~~ду
-Лу0р(0,у,0 = -
\kxJ
Wyo(y,t)>
dp(a,y,t)
\kxJ
АоРОАО
( \
\ky)
y/xQ(x,t) и
др(х, b, t) ду
\ky;
if/xb{x,t). Начальное
давление p(x,у,0)=ф(x,у).
8.47 Задача 8.3,
dp(0,y,t)
dp(x,0,t) ~~ду
-Ay0p(0,y,t) = -
\kxJ
за исключением того, dp(a,y,t)
¦Ax0p(x,0,t) = -
\ку;
yrx0(x,t) и
др(х, Ъ, t) ду
¦ + X"p(a,y,t) = -
?уа(У^) '
\ку;
\кх)
y/xb(x,t). Начальное
давление р(х,у,0)=ф (х,у) .
8.4 8 Задача 8.3,
dp(0,y,t)
др(х,0, t) ду
л*> р(о,у,0 = -
-Ax0p(x,0,t) = -
\kxJ
( \
\ку)
Wx0(x,t) и
исключением того, что р(а, y,t)=\|/ya(y,t) ,
dp(x,b,t)
¦ + Axbp(x,b,t) =
\kyj
Wxb(x,t) .
Начальное давление р(х,у,0)=ф(х, у) .
8.4 9 Задача 8.3, за исключением того,
что
dp(0,y,t) дх
dp(x,0,t) ~~ду
-Ay0p(0,y,t) = -- Ax0p(x,0,t) =-
\kxJ
dp(a,y,t) дх
f Л
\kyJ
/ ч dp(x,b,t) . . . .
WxM и ^v ' +Axbp(x,b,t) = -ду
Г?Л
\kxJ
( \ Л
\ку )
УуЛУ,0 г
Wxb(xJ) •
- 36 -
009953
Начальное давление р (х, у, 0) =ф (х, у) .
8.50 Задача 8.3, за исключением того, что
dp(x,0,t) ду
-Ay0p(0,y,t) = -- Ax0p(x,0,t) =
\kxJ
\kyJ
Ууо(У> 0, i//x0(x,t) и
dp(a,y,t) дх
dp(x,b,t)
+ ^yaP(a,yJ) = -+ Axbp(x,b,0 = -
Г?Л
\kxJ
\kyj
Начальное давление p(x,у,0)=ф(x,y).
9. Каскадная полубесконечная ламель и прямоугольник, включая задачи с со смешанными граничными значениями
9.1 Каскадная полубесконечная ламель: при х=0 DWO . v. t) =\i/"Wv. t) . b. 0. Птал v=bn
dp(x,b0,t) ду
границе y/j(x,t) = -
( \ ?L
\kyJo
iyQ(x,t) и при y=bK
dp{x\,t)
раздела
(дрАх,ЪрФ
f M f
l дУ J
y=bj, Vj = l,
дР]_,{х,Ъ^У ду ,
Начальное
v у У к
Ук(х,0 . На
К-1,
давление
Ajy/j (х,0 = {р^ (х, bj, 0 - Pj (х, Ьу,0} •
Pj (х, у, 0) =q> j (х, у) .
9.2 Задача 9.1, за исключением того, что при х=0 мы имеем
смешанное граничное условие, а именно
dPj(P,y,t) (V
\kxjj
ГЛУ,0 Для
bj yyJ(y,t) для bj у =?,...,/-1; -^--=
га:
\kxJ
f> ?+l},
t> 0
dp(x,b0,t) ду
\kyj0
dp(x,b^,t) = ju ду l к
?j{x,t) = -
y/^xj) . На границе раздела y=bj, Vj=l, K-l,
у ;* <
(ky) (dpJ(x,bJ,t))_Jky) (дрм{х,Ь^)
- 37 -
009953
ZJy/j(x,t) = {pj_l(x,bj,t)-Pj(x,bj,t)} . Начальное давление
pj (x, у, 0) =(pj (x, y) .
9.3 Задача 9.1, за исключением того, что при х=0 мы имеем
смешанное граничное условие, а именно dPj(0,y,t) _ ' -л
\kxj
y/Jy,t) для
bj 0. pj (0, y, t) =\\fVj (y, t) , bj y/yj(y,t) для bj \лх )j
dp(x,b0,t)
j = k,..J-l, t> 0. dPj(0^y,t)-AyjPj(0,y,t) = -
V' = /,...,K-1, t> 0. При y=b0,
\ у /о
y/0(x,t) и при y=bK
р (х, Ьк, t) =V)/K (х, t) . На границе раздела y=bj, Vj=l, K-l,
1/fj(X,t):
(кА
dpj(x,bj,t) ду
(к..
AJy/j(x,t) = {pJ_l(x,bj,t)-Pj(x,bj,t)} . Начальное давление
Pj (x,y, 0)=9j (x,y) .
9.4 Задача 9.1, за исключением того, что при х=0 мы имеем смешанное граничное условие, а именно Pj (0, у, t) =V|/yj (у, t) для
bj 0, dPj(fi,y,0 дх
AyjPj(0,y,t)
VkxJ
УМ),
bj 0
OPj\V,y,I)
у \va(y,t) для bj V x / j
[K]
(дР](х,Ь^)Л
(к Л _ 1L
(dpH{x,bj,t)\
{ ду J
К";
7-1
l дУ J
j = /,... ,K-1, t> 0. При y=b0 p(x,b0, t) =i|/0 (x, t) и при y=bK p (x, Ьк, t) =Y|/N (X, t) . На границе раздела y=bj, Vj=l, K-l,
y/j(x,t) = -
Ajy/j(x,t) = {pJ_x(x,bj,t)-pj(x,bJ,t)}. Начальное давление
Pj (x,y, 0)=cpj (x,y) .
9.5 Каскадный прямоугольник: при x=0 Pj(0,y,t) = y/yJ(y,t) и при
x=a pj(a,y,t) = y/yj{y,t), bj 0. При y=b0
- 38 -
009953
dp(x,b0,t) ду
границе
i//0(x,t) и при y=bK
dp(x\,t)
раздела
dpj(x,bj,t) ду
(ку^ f
y=bj, Vj=l, dpH(x,bj,t)^
( \ Е yf*{x,t) . На K-l,
r-lV
Начальное
давление
bjVj(*" 0 = {Pj_x(x,bj,t)-pj(x,bj,t)} .
Pj (x,y, 0)=9j (x,y) .
9.6 Задача 9.5, за исключением того, что мы имеем смешанное граничное условие, а именно:
(i) При х=0 pj(0,y,t) = y/yj{y,t) и при х=ос Pj{a,yJ) = y/yJ{y,t), для
bj 0.
dpj(P,y,t)_ (мл
(ii) При х=0 dpj(a,y,t)
?yni{y,t) и при х=ог
При dp(x\,t) =
^,0,0 Для bj 0 ф(дс,60,0
у=Ь0
Уо(.х,0 и
при
\ку;"
^x(x,0 . На границе раздела y=bj, Vj=l, tyj-i(x,bj,ty
y=bK
K-l,
fdpjix^t^
{ ду )
1-Х
Начальное
давление
Xjy/j(x,t) = {pj_x(х,bj,t)-pj(x,bj,t)} .
Pj(x,y,0)=cpj(x,y) . 10. Октант
10.1 Среда ограничена плоскостями х=0, у=0 и z=0; х, у и z распространяются до оо в положительных направлениях осей х, у и z. При х=0 р (0, у, z, t) =0, у> 0, z> 0, t> 0, при у=0, р (х, 0, z, t) =0, х> 0, z> 0, t> 0 и при z=0, р(х,у,0,t) =0, х> 0, у> 0, t> 0. р стремятся к нулю при х оо, у -" оо и z -> оо. Начальное давление р(х,у,z,0)=0.
10.2 Задача 10.1, за исключением того, что для всех; t> 0,
- 39 -
009953
p(0,y,z,t)=i|/yz(y,z,t) , y> 0, z> 0, p(x,0,z,t)=i|/xz(x,z,t) , x> 0, z> 0, и p (x, y, 0, t) =i|/xy (x, y, t) , x> 0, y> 0 . Начальное давление p (x, у, z, 0) =ф (x, у, z) . ф(х,у, z) и ее производная стремятся к нулю
при х -> со, у -> • 00 и Z -" 00.
10.3 Задача 10.2, за исключением того, что начальное давление р (х, у, z, 0) =pi, константа для всех х> 0, у> 0 и z> 0.
10.4 Задача 10.1, за исключением того, что для всех t> 0, р (0, у, z, t) =i|/yz (у, z, t) , у> 0, z> 0, р (х, 0, z, t) =v)/xz (x, z , t) , x> 0,
dp(x,y,0,t)
z> 0, и
у/ (x,y,t) , x> 0, y> 0. Начальное давление
p(x, у, z,0)=ф(x,у,z) . ф(х,у,г) и ее производная стремятся к нулю при х -> оо, у -> со и z -> оо.
10.5 Задача 10.4, за исключением того, что начальное давление р (х, у, z, 0) =pi, константа для всех х> 0, у> 0 и z> 0 .
10.6 Задача 10.1, за исключением того, что для всех t> 0, p(0,y,z,t)=i|/yz(y,z,t) , у> 0, z> 0, p(x,0,z,t)=\|/xz(x,z,t) , х> 0,
z> 0, и (tm)^-1^,до = .
\кг J у/ (x,y,t), х> 0, у> 0. Начальное
ее производная
давление р (х, у, z, 0) =ф(х, у, z) . ф(х,у,г) : стремятся к нулю при х -> со, у -> ¦ оо и z -> оо.
10.7 Задача 10.6, за исключением того, что начальное давление р (х, у, z, 0) =pi, константа для всех х> 0, у> 0 и z> 0.
11. Бесконечный круглый цилиндр
11.1 Среда ограничена цилиндром г=га и распространяются до оо в положительном направлении г и (-oo 11.2 Среда ограничена цилиндром г=га и распространяется до со в положительном направлении г и (0 А. Специальные функции
A. 1 Гамма-функция
B. Таблица интегралов
C. Общие свойства и таблица преобразований Лапласа
- 40 -
009953
D. Ряды Октант
10.1 Среда ограничена плоскостями х=0, у=0 и z=0; х, у и z распространяются до со в положительных направлениях осей х, у и z. При х=0 р (0, у, z, t) =0, у> 0, z> 0, t> 0, при у=0 р (х, 0, z, t) =0, х> 0, z> 0, t> 0 и при z=0 р(х, у,0,t)=0, х> 0, у> 0, t> 0. р стремится к нулю при х -" со, у -> со и х -> со. Начальное давление р(х,у,z,0)=0.
Количество Q флюида, внезапно впрыснутого в точке (х0, уо, zо) , [х0> 0, уо> 0, z0> 0] , в момент t=t0, [t0> 0] , и результирующее возмущение давления продолжает диффундировать через однородный октант. Среда ограничена плоскостями х=0, у=0, z=0 и распространяется до бесконечности в положительном направлении осей х, у и z. Давление в плоскостях х=0, у=0 и z=0 поддерживается равным нулю. Начальное давление равно нулю.
Находим р из дифференциального уравнения в частных производных.
= Ч*Ш + ^ Й + "?"Й + хг*(* - *o)% - 1Л> )Ф - *о№ - tQ)
где
'dz* фен к
(10.1.1)
rlv=-
_ К
при начальном условии
z> 0 и граничных условиях р (х, 0, z, t) =р (х,оо, z, t)=0,
р(х,у,z,0)=0, для х> 0, у> 0, p(0,y,z,t)=p(oo,y,z,t)=0, р (х, у, 0, t) =р (х, у,со, t) =0, t> 0.
Применяем преобразование Лапласа к уравнению (б.. 1.1). Получаем:
(10.1.2)
где
р = jpe~s'dt .
Теперь
применяем
надлежащие
преобразования Фурье к уравнению (10.1.2). Получаем: I - Qgm(ngo)s}a(myo)8in(^o) "" п 3)
где
00 м ОО в ОО(tm)
р = /psm(nx)dx, р = /psm(my)dy и р = /psinKiz)dz. оо о
- 41 -
009953
Последовательные обратные преобразования Фурье уравнения (10.1.3) дают
Р =
фщ, (М* у/тЩЩ
'*|(У{йге+а?е+ <Ч|е}')
\ I). т fhi 4i /
(VC^^^-1^}')
\ Ч" Чу ' Ч" J
Г(=-*оУ , (y+Vo)a ,.{*-*> )'1* \ Ч. ' Ч" ' Ч* J
\ П* Ч* 1 Ч* J
\ 4" 1 4v ' Ч. J
]> +* <,)" , (У-VP)' 1 <*+"> )*\*
\ 4" ' 4v 4. J
\ 4" ^ Ч" П" J
(10.1.4)
Обратное преобразование Лапласа уравнения (10.1.4) дает
Р =
U(t-t0)Q
8^{jr(t-io)}$
где U(t-t0) =
0 Г <Г0
1 f> /" (10.1.5)
функция Хевисайда. При t-> t0,
давление из уравнения (10.1.5) стремится к нулю во всех точках за исключением [x0,yo?z0], где оно обращается в бесконечность.
Изменив форму записи, эквивалентные решения задач рассеяния тепла и диффузии массы можно формально записать в виде*
Рассеяние тепла:
Для перехода от диффузии давления к рассеянию тепла берем Г|=к,
К = - и фсь=Ср; для перехода к диффузии массы берем r)=D и полагаем М
ф^=1 •
- 42 -
009953
^ к" лу j
^ Ля Ky K" J
\ Л* /Су к" J
/(*-N*)" t (y~w)3 . (И-*о)М* Г("-*оР , ("-Hw)3 ,
\ *" *" J \ **¦ KV K* i
/I_±*a2i + !и±шИ + Mali V*
\ №" Л* J
(10.1.6)
j (10.1.7)
где Q - общее количество теплоты, мгновенно выделившееся в момент t=to в точке [xo,yo,zo]. Диффузия массы:
2 =*
Qe~'tosi
jr*(V{fegg-+^g? + fegg}')
/ (*-" <03 4 (V+w> )3 4. (*+*> )3 \ \ D" D, j
(10.1.8)
- 43 -
009953
8 Hi-to)}* y^-Dy-D* * ^ '
(10.1.9)
Здесь Q выражает количество вещества, осажденного в момент t=t0 в точке [x0,yo,zo].
Непрерывное решение постоянного источника можно получить, проинтегрировав решение мгновенного линейного источника по времени. Однако, в целях иллюстрации, здесь мы решаем задачу формальным путем. Флюид вырабатывается со скоростью q(t) в единицу времени от t=to до t=t в точке [xo,yo,z0] . Находим р из дифференциального уравнения в частных производных
а2?
(10.1.10)
при начальном условии р(х,у,z,0)=0, для х> 0, у> 0, z> 0 и граничных условиях р (0, у, z, t) =р (оо, у, z,t) =0,
р (х, 0, z, t) =р (х, оо, z, t) =0, р (х, у, 0, t) =р (х, у, со, t) =0, t> 0 . Согласно вышеизложенной процедуре, последовательное применение преобразований Лапласа и Фурье позволяет свести уравнение (10.1.10) к алгебраическому уравнению, а именно
I = g (s) sm(nx0) тп(туо)в\п(1го) c- Последовательное Лапласа и Фурье дает
применение
(10.1.11)
обратных преобразований
- 44 -
009953
f =
J("-"o?3 r^sJ!, , ("-"o?a, \*~
\n. 4" ^ 4" J
1 1" T % 4. j \ 4" 4v 4* J
/f(*-l-*o)3 , fa+yo)3 ¦ ("~*o)M Л у ¦ Л If {*-**)! л. (v-V9?a a. ?*+'°?3 \ Л "i\y\ ч. ' vv 1 ч. Jay "4 \\j \ ч* 2 if, 3 TJ. )")
j----x-+,
f (g-мэд)3 , jiH-yo)3 . (*-*o)31 \ 4" Ч" 4" J
\ Ч* ^ % "!" J
П"-И")8 ... (у-Уо)3 . (з+*о)31* [(х-хаУ ¦ (у+у0)3 ¦ (*+гр)П *
\ ч" ^ ^ ч" ;
(10.1.12)
p =
J ---j-- |e - e "ч"* > < e *4"-r - e *"irT | x
x < e "n"r - e *""¦" > от
(10.1.13)
Если q(t) постоянно и равно q, то интегрирование уравнения (10.1.13) дает
Р -
U(i-t0)q
/7|(*-"о)3 ¦ (у-ув)3 , ("-"^Д у \ Ч" Чу Пм J
хуа'ЗЕ=%Ц ч" ^ Чу ^ ч. // \i^31Fio7 V ч" ^ ч" ^ *ы )f ^| И^)3 4. Щ! + (*-*°)а} ^i?^a? 4- fearig, + |
^\3'4p^J^ ч" Т Чу т Ч" // I X5> 3F-*o> V *> ¦ Ч" Ч" / J
j (у-УоУ [ <*-Ь0У" | Jps-xp,3 ; (v+-y)3 j ("4*oV"'|
_M3'iggU_41 + ЧУ + " Я (10114)
¦ // (*t"°)a 4. (И-У9? 4- ("М)аЛ у \ ч" ч* ч* J
Для случая, когда q(t)=qtv, v> 0, t> 0, интегрирование уравнения (10.1.13) дает
- 45 -
009953
Р =
gr(n+-X)Dr(*-to)i(> ,~*)
<(t-t0) \ 4* ^ l"y ^ 1J" J^^f1! Ji 4(t-t0) ^ TI. Оу 4" j J
У \ Ч. T ЧУ t 4" /
. f[^is?t + iv-yo?' ¦ (*-*> )"\ у 1 ч* ч" ч" j
/ Wl!fO)a + te,"tt^.+lt'-'!D)?. WH-I а. ".*......J teW'+fr^.+lSS.*)!^
o 4("-*o) I 1" ^ 1y T 4i 5' 4("-t0)^ Ч" T Чу T 4j Jy
/ПаН-аоУ" i (ГНЙ)" i (г-*^Т Л/ 1 4" ~ 4" ~ ч" 1
У \ Ч. Чу Ч> J
^{ <*У + + ('У)Я }
"Д^У + fry + <*у > '}
^/{(аУ + fry 4- (*У}
(10,1.15)
Решение, соответствующее случаю мгновенных и непрерывных множественных точечных источников в [x0i, yoif z0l] и в моменты t=tov, t=l, 2, N, можно получить, решая дифференциальные
уравнения в частных производных
Зр (Рр Э2р д2" 1
ate ^а? + "v гз + ^gjr+IT ?17 (* - <ь (t - - "*М(у - шЖ* - *и) (юл.
17)
соответственно. Решения для мгновенных множественных точечных источников в октанте таковы:
- 46 -
009953
р =
ct (2ir)* ^VxVvVz 1=0
X Ч" ^ ЧУ Ч" J
j(*+"0t)3 +
(v-y*).3 4.
17" •
Л*-хоОа ,",. (i"+yo")2 4. X Ч. 1 Чу ^
+ (У+У0--)3
Т Чу
/(*+*01,)1 |
1ч"
(V+VoO3 4. Чу ^
1> -*0.)а |. ,(v,-"qt),3. , X Ч. 1 4v т
<И-*о.)3\* Ч" J
4- (У-У° <)3.
т ч"
+***}•)
+ M^XS)
f (g+gQt)a , (у-УоЛ3 j (g+го)3 Y* f(g-"oi)3 i (Н-Уо..)3 ] (*4*о")а1*
X Ч" Чу "t* Ч" / X *¦ Ч" /
Г("+" <ц)а i (У+УоЛ3 ¦ ("+"ot)3Д * X Ч" ~ Чу т Ч" J (10.1.18)
< < e *"" <"-4h> - e *"x("-'ov) >
(10.1.19)
Решения для непрерывных множественных точечных источников таковы:
Р =
X ч"
X Ч" Т Чу т Ч. /
/(*4-'fr?3 4. jg-Vg*)a 4. featZX^ f("-"o.)3 , ("4УО.)3 . (*-*o,)3T*
X Ч" ^ Чу т 4. / \ V" Чу 4* J
**(У{^+^+^}") *,(y{^+^+^}*).
• f(s+*o,)3 . (y+y0t)3 , (*~*0L)3]* 4 togJ! 4- (*+*> .)aX^
X Ч" Чу ч" J X ч" ^ ч" /
**(У{^+^+^}*) **(у{^+^+^}*)
-----; - ¦-~-т f- - - -- - - --г
f (oH-**)3 , ,("-уо> )3 , ("4" <|?3 X X Ч. Чу ^ V* )
*,(У{^+У+^}')
Jfr-M3 4 (г***)" 4 (*+"*?31'
X Ч* Чу Ч-" J
f ("4-x0.)3 , (у4уо,)3 4 QH-*ot)3 V 1 ih T % T J
(10.1.20)
- 47 -
009953
t-to.
p = -.
x < e *ч"т - e > ат
(10.1.21)
Рассмотрим некоторые особо важные частные случаи, (i) Линия конечной длины [z02-zoi], проходящая через (х0, Уо) •
Решение получается простым интегрированием. Для мгновенного источника получаем
П L \ •
(а-До)2 , (У-Уо)2 - ---j--
(10.1.22)
Li ( Г/01 1 + erf f ; + ) - erf ( ) - erf f * + *°3 Л1
\ VV^^-to); \2VTjx(t-to)/ V2Vi7z(t-to); VV^(t-to)/ J
(10.1.23)
Решение для непрерывного источника таково
(10.1.24)
* Решение относится к методам переходного давления, связанным с частичным проникновением горизонтальных скважин в области движения грунтовых вод и с добычей нефти и газа из углеводородных коллекторов.
- 48 -
009953
Р -
U(t~t0)
нт) 4w) (w) -(w)}*
(10.1.25)
Усредненная в пространстве характеристика давления линии [z02-Zoi] получается дополнительным интегрированием**. g(s)e~**°
Р =
+ *a j ^|(?^ + to^}(s + l4)|j д (Ю.1.26)
tJ(t-t0)
t-to
-у-Iе '"т+e ч*т 11 j e *ч"т - e "ч*1- v < e 44"r - e *ч"т > ат
(10.1.27)
(ii) Множественные линии конечной длины [z02i_zoii], [x02i-xoii] и [y02i-yoit]^ проходящие через (х01,усн) для 1=1, 2, L, (yot/Zoi) для t=L + 1, 2, М, и (x0v,z0i) для i=M + 1, 2,
N, соответственно. Где (L **Общие результаты уравнений (10.1.24) и (10.1.25) предполагают, что поток давления однороден вдоль скважины. Хорошая аппроксимация к давлению в стволе скважины получается путем вычисления усредненного в пространстве давления вдоль линии.
*Решение соответствует случаю, когда существуют наборы частично проникающих вертикальных скважин и горизонтальных скважин в напорном водоносном пласте или углеводородном коллекторе.
- 49 -
009953
'(Ж-Ipt)3 (у - ffpj3
x?fc (s)e~"*f {cos(u20lt) - cos{uzob)} |"o |"Д
x2"(s)^jMS*{со8(ш:о11)_oos(ua!(Bl)}|*01^{ii^ + ^^}(,+"V)} -
4" %
du +
}(*+"2%)j
(iB-a!ob)2 (z-^(jv)2 --f--
}(s + tA?v)j-
1?x "7
(10.1.28)
t-*o>
*Mw)4wH(w)4w)b+
xLf(V-ZML) + erf (1±ЩЛ -erf -erf fe^)U (W.l.29)
\ V 2у^й/ \2^rgaJ \2^uJ) v '
Усредненная в пространстве характеристика давления линии
[z020 -ZQIO] / i=^/ получается дополнительным интегрированием.
- 50 -
009953
р -
: (s) е"**9' / -5 {cos(ttzoio)- co8'(""02o)},{coe(t"bit) - cos(u*o2> )} х
-*{{{
|(5 + u4)| + if0
-I--
Х]С * 00 e-ai*Jam^ {coa(ua:ou) - cos(w02l.)}J \к0
(з-zot)2 , (у + УоЛ2 --1--
ф**2 (го2 <> - гок> ) v^arl?*
?> (s) e-^/^M {со8(иу0н) - ooednto*)}/ Uo
- 51 -
009953
x (erf (+ erf С?±?^Л - erf ( - erf } *.+
+--?-i ,__ > Ш*-*0Л / ^--LAe **"" -e > x
Решение уравнения (10.1.2) в бесконечной области [-оо <х <оо], [-оо <у <оо] и [-oo (10.1.32)
(n27je 4- m2% + i2i7, + s)
Последовательные обратные преобразования Фурье и Лапласа для уравнения (10.1.14) дают
Фа (аг)" + ^ + ^3*}'*
(10.1.33)
I7(t--to)Qe
(10.1.34)
80Ct {ir(t - "0)}г у/ЯаПуПг
соответственно**. Соответствующее непрерывное решение получается
*См. уравнение (2.2.11).
**Для преобразования к цилиндрическим координатам записываем
- 52 -
009953
в виде
(10.1.35)
р= ^(t-to) *Тд (t-10 - r)c-(^-f j jr
Рассмотрим некоторые особо важные частные случаи, (i) q(t) постоянно и равно q (10.1.36)
(10.1.37)
(Й) ?(i) = gi", f > 0, *> 0
P~ ^(2rr)^+fv^^{^ + ^ + ^}i
(10.1.38)
(10.1.39)
V 2' 4(i-i0) I % *?v 4" )}
(10.1.40)
(iii) ЛИНИЯ конечной длины [zo2-zoi], проходящая через [х0,уо). Мгновенный источник
x=r cos0, y=r sinO, x0=r0 cos0o, Уо=г0 sin90 и чх=Чу=г1г- Тогда для уравнения мгновенного точечного источника (10.1.16) получаем
e*et.W-*tt)I ^ \/прЧ* и для уравнения непрерывного
точечного источника (10.1.18) получаем
- 53 -
009953
-Но
JiK°{]l {^r~+{J4!r'}{s+Рщ)}[8Ы {l {z ~ sin{l {z ¦ *)з)}3 й
(10.1.41)
P = -'-
*('-'o) \ чГ к чу /
8 <4c*ir f ft - tnU HTTP://www.eapatis.com/getimage.asp?src=//eapatis2012/Data/EATXT/ГЕЗЕ:......._________ . - _______............
- - v\ -fj v '- fit ^ \~уч*\~ ""// y-:V '(" V" /
и для непрерывного источника
З^я"2^^
^=y|jf01^/| <^~^°> 3 (g-bi^)|lsm^^00> -sia^(^-^g"}di
(10.1.43)
f-W TtO-fc-) f^_ ", (?=gtt(и.ш)
8$ct
В случае, когда q(t) постоянно и равно q
(10.1.45)
(iv) Усредненная в пространстве характеристика давления линии [z02-zoi] д(а)е-'*о
^2(^03-"di)v^%
(10.1.4Т)
7:(, - " - Jl* (S=S) + Jb (.-^-Л}ГАH^}d
> du (10.1.48)
(v) Множественные линии конечной длины [z02i_zoii], [x02i-x0il] и [уо21~Уоп] / проходящие через (x0l,yot) для 1=1, 2, L, (yOl,z0l)
для i=L + 1, 2, М, и (x0i,z0v) для г=М + 1, 2, N,
соответственно, где (L - 54 -
009953
x [sin {и (z - zou)} - sin {u (z - ль-^)}] du +
x [sin fu (ж - armt)} - sin {u (ж - ачкь)}] + +_I
^tij+i iu IV i * * J J
x [sin{tt (y - yon)} - sin{u (y - y02i)> ] du
(10.1.49)
?^_^7*i^^(^).-(^)}r*{'*^Lt
(10.1.50)
Усредненная в пространстве характеристика давления линии [zo20-z0io], 1=0/ получается дополнительным интегрированием.
1 Л J-у
г2. ЛОТТ ^-'
gt(s)e
X /-5 [COS {" (*01ф - J5oit)> - COS {U (z02$ - *01t)} - COS {tt (ZOIO - *02*)} + cos {u (^20 - * j(s + w2"fc)j
ft (s) e
-itot
E T--rx
"01"
gt(e)e
- 55 -
009953
О "МО ^ ' ^
(10.1.51)
/%"f ("oao--"ou)' _.fa^,r,°1')3 .iaaazaail2. , _Ы.уг*е?Оа1 -A{ ^"'^ч-'"'ffi'' }1 +24/-^- e I 41 J
+8*"(**> -"i")vs .It,17(4" ^ / v" (Hf (vp)" "* (vst)}*
- Hw) -Kw)}*"14^" (101'62>
10.2 Задача 10.1, за исключением того, что для всех t> 0, p(0,y,z,t)=\|/yz(y,z,t), у> 0, z> 0, p(x,0,Z, t)=V|/xz(x, z,t) , х> 0, z> 0, и р (х, у, 0, t) =V|/XY (х, у, t) , х> 0, у> 0 . Начальное давление р (х, у, z, 0) =ф (х, у, z) . cp(x,y,z) и ее производная стремятся к нулю при х -> со, у -> со и z -> оо.
Решение для непрерывного точечного источника таково:
д(з)е-**°а*
I 4. T JJ" ^ t)t f
/ (a+"o)" ¦ (y-vo)" ¦ (*-го)а Д * ftV-so)8 . (y+yo)a .... (г-го)"]*
\ Т)ш T % T 4x / \ 17* T % ^ i)" /
\ 4" ^ 1" ' Чх / \ t?" % 4* J
- 56 -
009953
1 ... 1 ¦ 44 1
f (x4-"o)" ¦ (у-уо)' ¦ (И-5оУ "И \ Л" Ч" Ч6 J \ ч" т ч" т и. /
Г (аНчго)" . (v+yo)" ¦ ("+70И \ 8 \ Ч" Чу Ч" J
"Wye ("г. a) 4- тт?Д" (n, i, s) + 0
о 0 0 V
A OO OO 00
Vi,m,s)\ .
вифис) sin(my) sin(l?)dndmc!? 4-
l ч" ч" ч" J
\ Пш ' Чи 49 J
f/_ -ah /.. i -.14 /- i 1 1 \ 410 4i# 411 /
f (g-m)" , (y+i> )3 j_ I12±s2!L\13 \ u" T n" ч" J
dudvdw
t-io
fq(t-to-T) f _fcani! _Msflii\ / -1st
x < e ТчГт _ e "ч"т i dr + оо то oo t
J J J f {^ne?tfI(m^,t-T)4-m%^"(ri,l,t-T)4-i"?A"(".^t14-T)}x
0 0 0 0
x sm(na:)e"T,15naT sin(my)e-',1',rtST sin^e-416'^drdndmdi 44----1- f f f (p(u.v,w) /е-'**"' _e"("Jrl \/е""'17""' - e-%iJ } x
|е-18т5$- - e-1^^! dttdvdtu (10.2.2)
где
- 57 -
009953
щ "оо" в оооо
ф" (п, I, в) = / ^ ?> " (s, *,*¦) Bin (гее) sin (fc) datdz, \Ьуя (m, f, $) " / / (у, *, *) gin (my) sin (I*) dyde,
_, (n, m, *) = / / ?шр (". V.") eta (nx) sin (my) <Ыу,. ?M (n, /, t) " / / ^" (x, *, t) sin (TUB) sin (J") <Ы", oo oo
в oooo - oo GO
?y,(m,/,t) a. ^ / (y, x, t) ein (my) sin (Iz) dydz, ф^ (n, m, t) "* //^ш"(".У1*)юп("")81п(пч/)^у,
(*" *i *) - / i> m" *" *) """"Л, ?L, (у, *, *)
о 6 " о
Рассмотрим некоторые особые случаи. (О *h* (Vi *. <) * Vv* (*) • (*r х, i) " V1" (*). \Ьп (*, у, i) - Фау (*), д (i) - 0 и ф, v, w) - 0.
ООО
8 7771п*у*$уЛ*)
^У J J \ nml[t>
+"fcn9+"?yma+ij,ia)
WW)
1 J
dn(nx) ain(my) eto(lz)dndindl (10.2.3)
(ii) yyz (у, z, t) =pyz, ^xz (x, z, t) =pxz, v|/xy (x, y, t) =pxy; pyz, pxz и pxy - константы. q(t)=0 и cp(u,v,w)=0.
S = ± 7 7 71 + (tm)%P** + Pv*P*y , \ sjg^ ^(mlA "ЫЫЫпЛтШ
r I3 J J J \ STMni(5 + "?en2 + "7"m3+7;IP)J
0 0 0
-\-/--v-""/----v-t-
2y5r
/ ?ii erf f __?_\ erf (rfr+
V^TJ Л/Т" \2у^тУ \2V%^/
(iii)
p(x,.y,z) =
x> 0,
y> 0,
vj/yz (y, z, t) =\]/xz (x, z, t) =v)/xy (x, y, t) =0 .
OO OO 00
iff sin(na) sm(my) sin(fc) . , _
0 0 0
z> 0,
(10.2.6)
q(t)=0 и
(10.2.7)
- 58 -
009953
(iv); Pi х> 0, у> 0, z> 0, q(t)=0 и
v|/yz(y, z,t)=\|/xz (x, z,t)=v|/xy(x,y,t)=0.
_' 00 OO ОС
(1) f f f eiafog) Bfa(wy) sin(te)
0 0 0
dndmdl
(10.2.9)
p "
(v) Линия конечной длины [z02-zoi], проходящая через
(х0, Уо)
Р =
71,г,5)+%^(tm)(п,т,в) 1 , rrp+т) $) - > sin{7iaj)sm(roy)sm(iz)dndmdi +
ОО ОО ОО | -
ООО
+ .. .-а* - / f J Vfa"> n> )
(s + Tjen2+^vm2
\ n" % Ч" J
ff+m)* ,(?-")" ¦> -")" \* , (*-*)" \*
\ 4* ^ "7" 4" J \ "1" T ^ Ч. /
\ 4* ^ V" V* J \ 4" *fc Ч" J
Ua+uP i ¦ f ("-tt)" ¦ (y4v)a ¦ (х4"|)э)"
X ъ ч* ч* J \ v* ~ -ч" Ъ J
/,("+")* 4. 4- ("+*"?'} <
(10.2.11)
- 59 -
009953
*-4о
, f q(t-to-r) f _ц*-ц)" _is+sail\/ -firf P - -.¦ 19 ¦¦ '¦ / ---- < e "ч"т - e <ч"г We **** - e 44vT >
*K^M^Mf^)--(w)}*+
oo oo oc t 0 0 0 0
x ain(rKB)e_',-na"r sm(my)e~'!l'm3T sin( &)e_',*'!,Tdrdndmdl +
4.-~- / / /u> (", v, to) ie"**^" - e'^sb- \ |e_1"^" - e~ !"*$ \ >
f ("-i")a iisbsi?.) x < eT *4.l - e~ > dvdvdw
(10.2.12)
Усредненная в пространстве характеристика давления линии [z02-zoi] получается дополнительным интегрированием.
р ij(s)e
-5to
^1г20- (zo2 - жох)
(г-же)21 (у4-у0)22
- + -----
оо оо оо
¦ля
(n,m,s)|
ООО 0LVI J
sin(Ju> ) {cos(teoi) - cos(izoa)) dMududtu
(10.2.13)
4(j> Ctn {ZQ2 - ZQI) ут)з,%
- 60 -
009953
oo oo oo i
я3(гьа-*м),
oooo
x sta(nx)e-^narsm(my)e-''"m,'r {cos(lzoi) - costfzoa)} <Гыг'drdndmdl + +_1
8ir (zoa - Zoi) t'JfhVv
J j J tp(u, v, w) |e - е""'**"" | '*¦> "' - e ^
(vi) Множественные линии конечной длины [ z02i-zoii] , [хо21-х0ц] и [У021-У011] f проходящие через (x0l,yoi) для г=1, 2, L, (yow z0l) для i=L + 1, 2, . . ., M, и (x0i, z0i) для i=M + 1, 2, ..., N, соответственно, где (L du 4-
4-Ко
- 61 -
009953
(a + Tjsii2 +%m2 + TjaZ2)
ООО
sin(nx) siii(mj/) sin(lz)dndmdl +
д oo oo oo
+-r * "' / / / V> W) -----------j-
(2TT)S JWU { { { {i^ + lM=№ + {f-*> Fy
/И"?а + М'4.МП} / (a-")3 4. (У±Ч)! + ("-"')' \*
\ 1" Чу 1" J \ Ч" ^ Чу Чж J
(("-и*)3 , (v+г.)" . йгнУД* ft-"> " 4.la^l*. . МнЕХ*
\ ч" ^ ч" т ч" / \ ч" ^ ч* т ч" J
1, Чх 'Чу. ' Ч* J
I % 'Чу ' Ч" J
f ОНО' . fy-H> )A . fr+wPV
\ Ч" Чу Чж j
dudvdw
(102.15)
"{-(^)*-(^)-№)-(ж^)}* +
"К^М^)--№)--в5ё*)Ь+
oo oo oo t
+^/// /{П^я^г(т'1> *-т)+т%^*Л".^*-т)+^?ху(".^,*-г)}х
0 0 0 0
x sin(na;)e-'"nV sin(mj/)e~'J"m!'T m{lz)t^'l*T drdndmdl +
4.-*- / / ftp (u v w\ /е-Ц^- _ в-*тч$-1 fe~ <4'*' - e ***$"}х
8(7rt)"v^5bJ / J 'I Jl J
x - e_i2^~ j <Ы"?к> (10.2.16)
Усредненная в пространстве характеристика давления линии
- 62 -
009953
[z020-zoio]f i=0, получается дополнительным интегрированием. 1
Р =
(ж-аг <и)а , (у-Knot)2
-Н--
7* %
' (г - -apt)2 j (v-Vot)2' Пг Пу
dzdu +
^тг2 (jsoao ~ *oi <> )
? ft (5) e-*H^M {coS(Uy01t) - ю{инъ)у] \кй Щ
-Ко 4-Ко +
T3 (Я02ф - -Z010)
ООО
j> (s 4- u2%) j dzdu + 1 J п%?и" (m, i, s) + тц^ф** (n, i, g) 4- fyj^ (n, m, s)
(s 4- %п2 4- %m2 4-ifri2)
x вЬа(пж) ain(Tny) {cos(^i^) - co &(lzo2 <> )} dndmdl 4-+
2lT3 ("02 <> ¦
000 о l 4 j
+ Ко j ^j + ц)2 + (У + ")a I (a + p^jj йп(Ь) {^(j^^) _ cos(Iz02o)} e-^dldudvdw
(10.2.17)
- 63 -
009953
x, *-*""
__---- > U(t-toi) / --t=---{e **** - e }x
x {erf f "%LZ^L) - erf f - erf f 3B &±g^ 4-erf x
x (erf f *°f ~!°Л - erf f *У Zi?^ - erf f *> f ±У ) 4- erf f *У ±1°Л 1 x
x (erf f + erf (H + _ erf f 9f &) - erf (Lt^ I du +
\ \2^щй/ VVP/ K^WJ \2V%S/J
oo oo oo t
- j J J j j (m, i, t - T) + m%^M (n, г, t - т) + (""* - r)} *
7Г3 (2020 - *01")
0 0 0 0
x &m(nx)e^*n*T sm(rny)e~1,v(tm)'r {cos(bf0i <> ) - cos(i2tao)} e~4*iJrcfrdndm Sir (2020 - "oxo) V?*%
000
10.3 Задача 10.2, за исключением того, что начальное давление р (х, у, z, 0) =pi, константа для всех х> 0, у> 0 и z> 0. Решение для непрерывного точечного источника таково:
- 64 -
009953
р = ---¦
*"(У{^+^ + ^}')
\ Ч" т Чу Ч* j
\ Ч" Чу Ч" J \ Ч" ^ Чу Ч" /
*|(У{^ + ^ + ^}') *,(У{^+^+*^}') ^
Я*+"Р)3 4. Я> 4У> ?3 + \-*9?.\Ь ((*-*°У 4. (У-"р)3 j. И*")"!*
\ Чг ^ Чу ^ Ч" / (, Ч" Чу ^ Ч" /
Г{"-"Ч)' . (у-Уо)д . <"""оУ1* / ("-*о)3 4. ("+Рр)3 + ("+"Р?3 \ *
\ Чх Чу ' Ч, J \ Ч* Чу Ч" J
^(У^+^+^У}").
/ <"+"??а 4. <У+У")3 4-\* \ Ч. ^ Чу ^ Ч" J
J3_ 77 7[ П^У" (ш> ДН (я, гт а) 4- i^^gy (п. т, s)
ir3/ J J I (s+jjsn2 4- %m2 + Tjrf2)
о о о
oo со oo
8pi /" / У sin(na) sin(my) sin(b)
///
v3 J J J Is + nxn2 4- %m2 + n,/2) nmi
ООО
dndmd!
sin(rw)sin(roy)sin(J2)dndmdJ 4-(10.3.1)
tf(*-*o) 4?*°?( <- <0-г) f .fe-fali -("+"п> 31 Г - V°/ 8^ctTf^p^ / r* (. J ( J
x dr4-
oo oo oo t
+^ III I {щ^"ЛщЪъ~т)+ттФхХ(п> Ьь-т) + 1ч^^^
0 0 0 0
x sin <"ia> )e-*"n*r sin(my)e-""m?r sm^-^drdndmdf 4-
(10.3,2)
^ ^ (^fe) ^ ( 2^f) 6rf (^fe)
где
?oo oo _ oooo
"(",'.#)"/ (s,*,*)ein(лв)в1а(.*) "Ыг,yw (m,l,a) - /Jfy,(у,;м)вЬ(тлу)йп(1:*)йу"Ь,
^(n,m,*) * fJ$sv(v,v,t)eta(w)Bin(mi,)dxdV, ?"(n,.,t) = / J^faz^emMelnWdzdz,
%t(m,l,t) " //^.(y^.Osln^ria^^^Km,*) - Jf^(x,v,t)sin(nx)Bb(my)dxdv,
?" *"*)-/ V^. (*> ", *) tfy, fa *,*)"/ (У, *,*) C-*(tt, И ^ (в, у,,) " (j., y, t)
Рассмотрим некоторые особые случаи.
(i) Линия конечной длины [z02-z0i] , проходящая через (х0, Уо) ¦
- 65 -
009953
Р А Л I -Н {cos(izQi) - совЫ}
фа^^тЩ J I
-Ко
(д-г-жр)2 ( (у-Уо)2'
ОО (c)О QOI . _
8 /" [ [) пт}хфуг (m, f, 5) + гЩуФЯз (". *"*) + ЦАщ, ("> ""1".)
3 /
1f*J J J I (s + j?"n2 + %TO* + ffcl2)
000
oo oo oo
8p/ f f f sin(ng) sin(my) 8in(iiz)
*///
ООО
(5 -jr ^n2 + %m2 + ijiP)nrof
drwimdf
"8in(nx) sin(my) sin(iz)dn(imd2 4-(10.3.3)
t-t0
* МЫ)-(w)(w)}*+
00 00 00 t
///{"^^v* С*71" i, t - -Ь тт?,,^;,, (п., t - 7-) + 'т?^,,^ (", m, ? - з
0 0 0 0
x 8Цпх)е--*> *л?т sta(my)e^*in!,r sm(lz)e~4*lSTdrdndmdl +
(10.3.4)
Усредненная в пространстве характеристика давления линии [Z02-Z01] получается дополнительным интегрированием.
^2-(^-*oi)v"y р.**-*""' - "IM"" \ -^ -^Г"Г T* w/
v3 (m - m) J J J ~l \ (s +щп2 + Tjym2 + Ы3) j
0 0 0 v. /
x sia(m:)8Jn(my) {COS^JZQI) - 003(^02)} dndmdl + 00 00 00
8pi
Я-3 (ZQ2 ~ *0l)
f / f -4C0S^3"dndmdl У У У (s4-^a.fiz 4-t?sm2+"?"tz)nrot2
(10.S.5)
ООО
- 66 -
009953
t-to
ЬфСф (хог - 201) Л%
00 00 00 i
* ^{zoi-zoi) J J J Jl {nri*^"* (-m> ^ * - T) + ""чД" (n, (, t - т) + Ьг)гФ^ (n, m, t ~ r)} x 0000
x в1п{пх)е~^г sm(7ny)e-'"'maT {cas(iz01) - cos(J"02)} drdndmdl 4-
^^^h-Gfc)--(*)+V?{-*--*}]
(10.3.6)
(ii) Множественные линии конечной длины [ zo2i-zoii], [Х021-Х011] и [У021-У011] / проходящие через (x0i,yoi) для i=l, 2, L, (yotfz0v) Для i=L + 1, 2, M, и (x0v, z0l) для i=M + 1, 2,
..., N, соответственно, где (L p =
-KoUliix+a}0t)\iv~Vot)*
4* %
|(s + "2ij,)|-
--1-"-
J(s4-"2
4")> +
(ж+жш)2 , (y+yot)2'
- 67 -
009953
t=M+i s L IV i "* •*
oooooo
(g + xpt)2 (г-apt)3
}(* + и2%)|-Ко
(s-acot)2 (g + gbt)3 4* %
(д+а?о.)а ^ (g + 2bt)2
-j-(a + u2%)j
dy 4-
"^"#v" + т%*Ам.К s) + fy*?BJ, (n, го, s)
ООО oo oo oo
*///
ООО
ain(na;) sin(my) вш(1г) (s 4-1?"п2 4-%m2 -г Цг 2s)
dndmdi
siii(raa;)sin(my) sin(iz)c!ndm (10.3.7)
t-tot
* {- (w)+- 6t) - - (w) (w)}л+
+8M^X^-*-y "-Iе^He
x {erf f 4- erf (Е+^Л - erf f - erf fi±") } * +
j 1 V^rrA* ^ r/°W(*-*Ot-") f _iS=Shli - M f _ <'-n.)' -l^SPii3.!
ж /erff^U erf _ ^ f tZjb) - erf fL^)U +
l \2^у \2у^"; \2^; wv^/j
oo oo oo t
+7ГЗ j j j j {Ща^"я 1'г~Т)+ К * i * - T) 4- ^Дву (n, ТП, * - т)}X
0 0 0 0
x sin(7Wj)e-,'"''l!,T sin(my)e"7"m!!T sm(J^e~4*'*TdTdndmdZ +
Усредненная в пространстве характеристика давления линии [ZQ2O~ZOIO] , i=0, получается дополнительным интегрированием.
- 68 -
009953
Фътг2 (*02ф - л/VtiVv
У] "". (s)^-**0' / \ {сов(иго1ф) - соз(издо)} {cosfuzou) - cos(uz02t)} X
п , J tt
(a+Jot)2 (y + yot)2
Tar %
dti-f
^TT2 (Здзо - *01ф)
7* %
I (s + tAfe) j
cfeciu +
7* 7*
}(* + u27v)j(ж - loi)2 , {z + J50t)2
--1--¦-
"?s 7* }(a+"2%)j
J J J 000 V
x sln(na:)sin{my) {co$(lzaio) ~ cos{lzoto)} dndmdl +
IIIain(mv^ H1^) ~ cos(ko2o)}dnifTOfl
T3 (j3fl2 <> ~ ZQIQ)
ООО
(s + ПхПг + %roa 4- 7* 22 ) **mP
P =
- 69 -
009953
(^)
_ <^+ <ы",(а^ь) _ (^+%o"f (a^+gb) +
. г, /Тж!" f ('отб-'озЛ' ("м <> -"о"Л3Л " /nrU Г ("W+"oaOa (* +2у-^Г |е *"и -е W l+2^/JL_je *"> ,- -е fe^ Ы
1 ^ тг,, * ч *7°'?Л^ <0Ь-Ц) f -> Г" <Н> 3 -IS+Sttii3.1
х {erf ( - erf f - erf f 2а^Йь\+й? ( ^±?Л ) *
4" "H^r) --№) - -(w)+Brt (w)}* "{-f(w)+-1(^)-ri(w)-f(w)}A'+
go con t
^(гозД-гою) J J J J ^N'L'I-r) +Т(tm)7Д" (л> г> *~ r) + (n,ro,t - r))x
0 0 0 0
(10.3.10)
10.4 Задача 10.1, за исключением того, что для всех t> 0, p(0,y,z,t)=vyyz(y,z,t) , у> 0, z> 0, p(x,0,z,t)=i|/x2(x,z,t) , х> 0,
z> 0, и dp(x,y,0j) дх
( .Л
у/ (x,y,t), х> 0, у> 0. Начальное давление
р (х, у, z, 0) =ф (х, у, z) . cp(x,y,z) и ее производная стремятся к нулю при х -> оо, у -> оо, z -> оо.
Решение для непрерывного точечного источника таково:
- 70 -
009953
ч(у{^+^+^н
\ V ч" ч" j
*"(У{^ + ^ + ^}*) ^(У^ + ^ + ^Ь)
/ и-"у + laowii 4. (Т^У у / ("-'Р?9 4. &±ЯЗ)1 + ('-*Р?3 у
1 Ч. 4i Ч, J \ ч" т Чу т я" j
/ /7Т
/ /тт:
X Ч* ^ Vv ^ Г), J \ Ч" Т 4v Ч" J
\ Ч" т Чу ^ Ч" / \ 5. Т 1. Т <1 < J
'^(y^+^+^g*}')'
7Г3 1
/(g+ao)3 . (v+Vo)a ¦ fr-MoPl? \ 4* Чу 4* J
0 0 0
^ 0000 00
(s+%я2 4- %m2 + J?"i2)
/fcaE 4. i!t="2i 4. Xszsfcl*
\ 4" T 4" T Ч" J
sm(nic) sm(my) cos(te)dndmtfi 4-
( <*Ы* , ("--*)* . ("-t"3"V* ffr-up . ("-И)а , ("-w)M*
\ 4" ^ Чу T Ч" / \ 4*> Чу 4* J
ffa-f-u)3 ¦ fo-H> )a , fr-w^l* f("-u)" . ¦ (-г-Но)3]*
\ Ч* ^ Чу 4" / \ 4" T 4v 4" /
**(У{^+*^+^}") ^(У^+^+^Н.
\ Ч" Чу Чж J \ 4- Чу ^ 4" J
\ 4" Чу ^ 4" J
dudvdw
(10.4.1)
- 71 -
009953
р =
00 ?50 00 t
"^111 j VtVx^v*fal,l> t~T} + m^
0 0 0 0
x sm(nx)e~4'n'T sm(jny)e-,)"rn*T oo oo oo
(10.42)
где
/^(аг^.^йпМсов^йай!",?^^,;,*)" (",*,*) sin (my) сое (b)dy ?"(","*,*) " 7JV."(*,",*)sin(nx) * )ein(my)tbdy, ^M{*,*,*) = 7^,(*,*,t)e-*dt,?;jw{v,z> *) = ?т\.(у,*,*)е-н <й, и ^(e.y.i)- /V^foMe-**.
Рассмотрим некоторые особые случаи.
(i) \|/yz(y,z.t)=\|/yz(t), yxz (х, z, t) =\|/xz (t) , \|/xy(x,y,t)=\|/xy(t) , q(t)=0 и ^ OO OO
У'уж(Д) . mwL(*) , (*) е" V
О О
х sin(nx) sin(my)dnclm
m (s + щп2 + %m2) n (a 4- > ?*"2 + %ro2) > x
(10.4.3)
OTK^)erf(w)rr
(10.4.4)
(ii) vj/yz (y, z, t) =pyz, vj/xz (x, z,t) =pxz, Уху (x, y, t) =qxy; pyz, pX2 и qxy - константы, q(t)=0 и (p(u,v,w)=0.
0 0
nijxpyz
... mVyPxx__,
m(s + T)*n2 + %та) n (s + т}ап2 + т^т2) фаптп^щ (з + т)хп2 +щт2)
> х
х sin(nx)sin(my)dndm
(10.4.5)
- 72 -
009953
0 V
(iii) i|/yz (у, z, t) =\|/хг (x, z, t) =VJ/xy (x, у, t) =0 .
oo oo oo
sin(na:) sin.(my) cos(fz)
dndmdf
(10.4.6)
x> 0, y> 0, z> 0, q(t)=0 и
(10.4.7')
(iv) Линия конечной длины [ZO2-ZQI], проходящая через
(x0f Уо)
pc-sp)2 (y-ito)2 --1--
1" 7s
}(s + *27,)|-
Д-tZ?___f п. яг. jsl I
sin(ni) sm(rny) cos(^)dndrruS +
IT3/ J J |^ (a + 7a,n2 + 7"m2 4- 7"22) j
+-a ...... fff 4> (VyV,
(2ff)*vWb j7 J J
J(*t")'+ (y-")" ^--^П* 1ь^)ш.+Ш?.+ {"-~Г\*
\ Ч" ^ П" 1* / \ 4" 4v V* f
- 73 -
009953
\ Ч" Ч* ^ Ч" j \ ч" т Чу ^ ч" j
**(У{^ + ^ + ^}") ^(^^4-^ + ^}з) [
\ Ч" Т Чв Ч* J \ Ч" Ч" Ч* J
**(У{^+^+^1"
X ч. ^ ч" т ч" /
(10.4.9)
оо оо оз t
+^ у У у У |п%?у"(п",г,*-т) +m%$Bat(n,{,i-r) + ^^xV (n> m'*~r)|x оооо
х sm(na:)e"","*,A' sm(my)e_'> "mar соа(?г)е""ч"'*т <1тапагтЙ +
со oo oo ^ j
H-5-- f f f 4> (""*"> "> ) (e_i^" -e-,1^~ 1 ie~^$~ -e~i^"Ix
x j e_iTn^~ + e_i^- j dudvdiy (104.10)
Усредненная в пространстве характеристика давления линии [z02-zoi] получается дополнительным интегрированием.
Р =
?(s)e
(x-sg)2 (y-yo)2 7* Vy
(ac-sp)2 (y-f-yp)3 7a %
Чх oo oo oo
¦III
l ("ii *¦> s) -г тдДц, (n, f, s) + jg^gy (n, w, s)
7Г3 (*02 - "oi) У У У
0 0 0 V.
x sin{na:) sia(my) {sin(bp2) - sin(/zbi)} dndmdl +
POP p "¦ v ' /
7a 7"
}(*-н2*?*)}
cce(to) {ain(^oa) - sin(b:oi)} dldudvdw (10.4.11)
- 74 -
009953
U(t-t0)
W?{> r4^-*(^)-i}+*-,(^)-*-t(^)-
[ът ( _"to. -.ЗиЛ] f _> .-чв> *, -faf-o)'! Г -is^aiif \ ,
-W -- I e - e "*T J j e *ч"г - e "> *т V < e **1"T - e *ч"т > от 4-
oe oo oo *
5Г3 ("02 - ^oi) ,
0 0 0 0
x sm(na;)e-'',!rt4r йа{пгу)е"ч"т*г {rin(teoa) - 8to(i"w)} e"4"*'*rdrdnd"ndl 4-
4 &1Г ("02 - Zoi) *л/%%
j J j (v) Линия конечной длины [xo2-Xoi] , проходящая через (Уог z0) •
q (а) е-**0 /"sin (иге) '-Уо)2 ( (-г- ^о)2
) +
- ifo
(у-Уо)2 , (* + *о)2'
}(.+^}-*{/{^+^}е.+^> ]
8 7/'/,}wb^(m,i <") + mi^^(n,^+.^4f^,tn,*)l
/ / / /-г---:i............-.....г;-|2-2-Увш(яя?) sm(my) С08(**)еЫшй +
"s//-M ("4-7art24-%m2+"?*P) J
^ oo oo oo
+ . . а Я - j f [viWl))--------------~x
uuu \ V* ^ Щ Чж J
,. : z : rm ... .... . ..л +
1" ~ Ч" 4* /
^ IJ" 4" TI* J
("+"> P
\ Чв Ч" Ч" J \ 4- 4v 1* J
f (*+"P . (irM3 I ("-N> P "> * \ 1. % ^ 4t J dudvdw
(10.4.13)
- 75 -
009953
t-tQ
U(t-ta) Г g(t-io-u) f -fr-yof -И^иш'Л f , -,П,*"> *Л
8Ф*я^Ш J и \ } X J
x (erf + erf tog) - erf f - erf f?±^ 1 d" +
I \2-у^о//
OO OO 00 "
+^3 j J j j |n"fo^y,(m,i,t-T) + ni%^iM(tt,t,t~T> +~^(n^.t-rm
0 0 0 0
x аЬ(пф-*,я,т sm(my)e-4"n'!'r cos(b)e_4*lSM7-dn +-_i- f j f tp{v,,v,w)ie'i^'-e~*^$~ 1 (e~^$~-e~^$~}x
x |e~^^~ + е~^я?-j dudvdw (10.4.14)
Усредненная в пространстве характеристика давления линии [xo2-xoi] получается дополнительным интегрированием.
Р -
J^{cosfasoi) - cosOuoa)}
(г +го)
(г-.го)8 (у+уо)8
}f> + iAjb)J-
du-r
¦im
1 f п?7х?у" (m, i, s) + тщфы (n, (, а) + •^Фху (п, тп, а) ]
it3 (s5(o - xoi) J j J n] (s + tfan2 + i}vm2 + ?7"/2)
ooo v
x cos(Iz) ein(my) {cos(n?Coi) - cosmos)} dndmdl +
oo oo oo
+ 1
2JT2 {xovt - x0i) у/ЧхЩ
0 0 0
(z-w)2 , (y
- Ко I ^ { ^ У ^ + ^ } (* + n2,?") j j sin("") {в"(п"и) - cos(na!02)} АиййЫш (10.4.15)
- 76 -
009953
V(t~to)
p zst "--------------.......- .-----
-w --|e ч^+е ¦> "•"¦ JI < e **i"r - e 'r > < e "ч"т 4-e > от +
о о о 0
Bnt (X(a - XQ%) у/ЩЦ)
*Hw)--(w)- (vi) Множественные линии конечной длины [z02i-zoii], [x02i-xoii] и [y02i-yoii] , проходящие через (x0l,y0i) для t=l, 2, L, (yoi, fZ0l) для i=L + 1, 2, M, и (x0i, z0i) для i=M + 1, 2,
N, соответственно. Где (L *|> J^M {MuZ02t) _ sin(u,ou)} + kz^}"^^| _
-Kb
(g-fa!ot)2 , (У-Ш)2 -,--j--
-доО2 , (у +ш)2
I (s 4- u2^) j
(*-*о02 (y-y0t)2
j(a4-u2ffo)
+^{v/{^+^^}-K"{\/{^+^}(*+"1
- 77 -
009953
if °°
du4-
+3/ / / <-+^ + цР)- Sin(m;)8m(my)cosHdndmdi +
ooo
+ O)1 v"7r // Ш) {12^1 + teal! + (*-*¦)¦'}*
Jig^+ifc^+tori* (i^xteE + ^n^
\ 4" ' % ' 1 < J \ ч" п ч" ч* J
I % T % T \ Ч" ~ Ч" п n" j
\ ч* ч? ч* j \ 4* T 4" 4" J
t Ч" T 4ir 4* /
dudvdw
(10.4.17)
Hw)-4i(c))4w)4w)b+
- 78 -
009953
• du +
x (erf (+ erf f) - ^ fe^V *f (?0) ) < x Lf (izmt) +0d(y±you) ^(IZJBL) .^fy+yoaAl
ГЧ2у^/ \2v%s; vvs*/ vvs*//
• oo oo oo t
. 8 / / Г Г( == , .. . . = , . . ч.1=г, . Л J J J J iW*Vy*(m> ht-V + (tm)%faz{n,l> t-T)^faV> sV \Jh-m,i-T)jx
0 0 0 0
x sin(nsc)e_4"ni,T ^(my)e~^mZr <^(lz)e~^l'r drdndmdl +
4.-_i- /" f f tp(u-Vitii) ie~t!^~ -e~^^~ \ /e~(*'v" - e_i^"lx
< e 4- e~ > dudvdv)
(10.4.18)
Усредненная в пространстве характеристика давления линии [zo2 <> - zoio] , 1=0 задается следующим образом: 1
Р =
Фапг(> кяь - *н <> ) ^/ЩЩ
Е Чь (s) е / {8in("zo2o) - sinfuzoto)} {sm(ti.Zo2t) - COS(IMSOU)} ;
(a;+a0t)a , (y + ypt)3 -H---
\du+
1 ~ ................. _- x
-Ko _1_x
Мт2 (гозо - г01ф)
E * W {соз(иуон) - cos(Wyo2t)}/ *o I J{ + + "4)}
- 79 -
009953
dzdu Л-
[ [ 711 Щ*^у* tm> + m%^s" (п'Ь s) + зк^ВД от'а) I J J J Ц (e + %n2 + %m2 + ^3) f*
ООО ч
х sm(na) sin(my) {вт^гща^) - sin(i^oio)} dndmdi +
ir3 (zoa^ - zoio)
v OOO n и 4 " ^
+fo|^|?L±S? + *V * |(a + ft?,) j jcoggw) {saJilzaio) - 8ш(1г0к> )} dldudvdw (10.4,19)
P =
." /n.U f (ч"а-"оч)а ("on> -"ttu)* ("оа"-*да> )' {*oto-*Mt)a ")
+24 / -- \ е *ч"и - е - е + в *ч"" у -
У к \ )
. +(w + ^)Mf(f^)-(^ + W"f(J^)-
" Г _isaa±ss±21 -toi <5tf°.^.)-3. ("мо+"оаЛ3 _t*p""+ <°"*)* ) 1 , , -2W -- < е *ч"и - е - е 4ч"и + е "ч"" V J du 4-
+__L___ у ?7(t-to4) /* Stb^f.-^-.-^l
х (", ( *Zgt) + ^ fe±Sb) - erf (|^Л - erf f ?±^) 1 du +
- 80 -
009953
8^ct (^oao - *bi <> ) \/(tm)h t=Af+1 x (erf f ~M - erf f 2°?1?1) + erf f У ±M - erf f ^> ±*°Л )
x(erf( + erf f ^) - erf (- erf ) du +
l ЧЗ^деУ \2^У Ч2^У \2V%"/J
OO 00 00 t
/ / / / 7 { "'b^1" (m, M - r) + iwh^ (n, U - т) + -^ay (n, HI, * - т) I)
0 0 0 0
x 8т(ти)е"ч*,паг sin(my)e-4*wiT {sm(te02o) - dn(l*n. <> )} <Г*'1*Т drdndmdl 400 00 bo
Усредненная в пространстве характеристика давления линии
Т"'" - ~-
"**^се7га ("оаф - "oio) y'W* 23
- 81 -
009953
Ч" + "Рц)а (* + *Qt)g' 7*
7 7 7 А \Щ*Фуя(т,1> J J J n|
ООО V
3 = ч
s) + гтщ^ (n, I, а) + -^Ц^ (п, та, д) |
тй(я;о2"-а!о1о)У J J "] (s + 7*n8 + %m2 + 7,P)
x cos(fz) sin(my) {CGS(TUCOI^) - cos{ni020")} dndrndl +
+_1_
2n2 ("оад - "oio) "jWs
J/7*-' h [* M^*^}^
n n n n l. N ¦
(z-ц;)3 (y + 7* 7v
-jfo|^/|^^^ +"^^^ |(д + "а7я)| sin(nu) {cos(fwoio) - coe(na!o2 <> )} dndudvdw (10.4.21)
e *""" > x
gQi" ~ Д01
*Ww)-4w)4wH(w)W
- 82 -
009953
x (erf (_. ^ (- erf (Ш^) + erf f *"> +*ь) } x
x(erff|^)+exff^)-erf/^)-erff^^))dtt + 000000 t
T)\X
0000
x {с("(па;01о) - cos(na:o2o)}e-,''n,Tsin(my)e_1''''n!''r cos{lz)e~v,l^r drdndmdl +
1--1---~ZZ~ / / /V(uiv> w) (e~'""•> "' + e~'"$ 1 (e- <^v' - е~'*ч"' 1 x
8(jrt)" (лого -aioio) у/ЧхПуЩ J J J I Jl J
10.5 Задача 10.4, за исключением того, что начальное давление р(х,у,z,0)=pi, константа для всех х> 0, у> 0 и z> 0. Решение для непрерывного точечного источника таково:
\ Ч. ~ 4" ^ Ч. J \ 4" ~ 4v ^ Ч. J
\ 4* T 4v ^ 4* J I 4. T 4" _ -4* J
^^уфн^4.(й^ + М)
0et (2тг)* у/ЪвЩТ)*
\ Ч* ^ 4" ~ 4" /
4~r/ / / <-г--5---T|f---}sm(na)sm{my)cos{lz)dndmdl +
irjjj j (s + ?fen2 +%m3 + 7?2J2) I
0004 )
i-.e-V
*¦ > sin (my)
m(s+%m2) dm
(10.5.1)
- 83 -
009953
p = -\ u/ / ---г-- {e Wr - e "Ч.* We """с _ e w \
oo oo oo t
0 0 0 0
2vW
(10.5.2)
где
^(n,m,> ) - J V.") eta (T") Bin (my) dxdy, &,(n,J,t) - (".*.*) Л (fw)oop (to) *Ar,
^.KM) - JJ^^^^afafmyJooe^dyi*, &,(",**,*) - J J** <•. V, *) ata (TUB) sin (my) <Ыу, &, <*,*,*)- (*,*,*)"-* <".?".(",*,*) - j4" и ^(*,V,")= J*4r(",".")rrtA
(i) Линия конечной длины [z02_zoi], проходящая через
к - g(a)e",ta
о о О V ^ ", {1 - e~V**? 1 sin (my)
+ 2Р? п_L
т(в + %т2)
(10.5.3)
i-to
р . JfcM_ / gft - *о - г) f e-i^li _ e-i^1 f e-i^ " g-^1 > ; 8#41Гу^ь% J т { ) \ J
oo oo oo t
+~sj J J уЧ^Д Лго.М-т) + m"iJ> ^11.,(fi,{,t -r) + ^?!l!V(n,mlt-T)\x
0 0 Q 0
x ein(nx)e-'",',!'r ап(ту)е-""т1,г cos(b)e-"*,3Tdrdndmdi +
- 84 -
009953
Усредненная в пространстве характеристика давления линии [Z02-Z01] получается дополнительным интегрированием. q (з)е-*'°
Р -
фъп2- {гаг - *oi) у/Щ/
7 7 711Щх^*' l> +,fiMfrfc" fal,s)+*?^24" fa m'
J J J T\ (s + + + T|,i2)
ooo v.
TT3 (z02 - *Ql )
X sin(nx) sin(my) {sin(f2o2) - sin(i2oi)} dndmdl +
,2Р/ J I_________J_
т(з + щт?)
-dm
(10.5.5)
P =
U(t-to)
44ciir{zo2-zoi).
-> }+-О)-(^0 -
-w--fe n"i--e n"'I < e ""¦•¦ - e "w We *> "T - e ^ч"* Mr +
OO OO OO t
1^ (202 - An) . . . .
0 0 0 0
x sin(nx)e^> 'n3r ш.{ту)е~^т'т {sinflsoa) - ata(M> е^"*г**иЬшв +
(MLM)
(ii) Линия конечной длины [x02_xoi] , проходящая через (Уо,z0) .
9(в)е-*1- ?sinM , , х у V1L ( 1((У-Уо)2 , (г-2о)2\/ , а Л ,
- 85 -
009953
Чу *1в
О+Уо)2 , (g-Zp)2
+ ¦
о о о V
{д. /"tn3 j 1-е" V * У sin (my) -ту -......i
m^H-^gm2)
sin(rec) sin(my) co$(lz)dndmdl 4-
(10.5.7)
i-to
oo oo oo t
-!////{
TMMV, (m, 2, t - r) + тт/уу" ("> J, t - r) + -ф^Фау ("> m, * - т)^ x
о о о b "
x sin(nx)e-7bTlS'r втЩГ'""1^ cos^-^drdndrndJ +
(10.5.8)
Усредненная в пространстве характеристика давления линии [x02_xoi] получается дополнительным интегрированием.
фс?х2- (йог
^M^m")l v 15 j*
7Г3 (302 - soi) У J J n] (a + т)ьпа + тмт"2"+ %i2)
000 I
sin (my)
m(s + %m2)^ (10.5.9)
- 86 -
009953
oo oo oo t
ft n n It
1^(102 -JBoi)
0 0 0 0
x mn(lz)e-,,'l'r Ш1(ту)е-п"т3г {dn(TUPDi) - Bin(reco2)} e"> -n3rdrdndmdl +
г e - e **** >
4-pretf
(¦2v5p)
(iii) Множественные линии конечной длины [ zo2i~Zoii] / [x02l-x0il] и [y02i-yoii] / проходящие через (x0t,yoi) для i=l, 2, . .., L, (youZoi) для i=L + 1, 2, M, и (x0u z0l) для i=M +1, 2, N, соответственно, где (L P =
- 87 -
009953
оооосо/" =
2р/
sin (my)
m (з + %m2)
-dm
(10J5.11)
t-tot
* Kw) -4wH(w)}'
oo oo oo t
fill {П,?*^* ^* ~" T) + (П> 1> * - r) +
• du 4-
i^JJJJ 1 ' "*
Q 0 0 0
x sin(ni)e"4-n3Tsm(my)e^mir cos(iz)e~4*'STdrdTidm^
(10.5.12)
Усредненная в пространстве характеристика давления линии
[zo20_zoio] i 1=Ф> задается следующим образом: 1
Р = -1---г-==Х
-xoi)2 + (у-1/oi)2' (а + ящ,)2 (y-yot)2'
- 88 -
009953
(i-iot)2 , (у + УоО2'
TJa, 1 4" %
M252 0)80 ~ 20l <> )
CO ЗДЗф|- ^ I 1 " 1 "..............1" ' "" ..... "' ""ч
"E "• <")"-26/^мы -""(""".)}/ [к, {^{^J272+^v^}^}
f 7 7i/TMfc^y28(m'29'g) у У У г) (s
ООО ч.
dirdu-f-
) + тш?у?агж(п,г,з) +
т3 ("Оз" - zou> ) J J J 1} (s+%n2 + %m2 + Tjzi2)
ООО \
x sin(ra?) sm(my) {sm(lzo2 <> ) - sui(li!oio)} dndmdl +
-/•
0 И m (s + %m2) -dm
V =
/• _ /л _i Л / . .9 , . .О 1 / л_______\3 "...!.... > Я Ч
/тмГ f ("o" <> -30oit)3 (31oio-32оиУ ('oa-o-'oat)3 (Joi <> -"oat)a "1
т2у--ye -e 33ч7" - g 34ч""+e 35ч." >
- 89 -
009953
- <~+- С3^)+ <*"+¦*> - (^)+
/ffatT / _,,(""*+-?-1! _Ja_4±__j_i Лаиа.+'У*)?. , __i__b__s___ "I1 , . -2у- <е - е - е *ч"" -J-e ^ч-*И-а_ +
+ вХГ7-=-ГТ= > / --^--ie -> v- _е
44№)--*(aS5s?MW)-"f(W)b
+ -1 ^ f g(t - ^ т*" - ?. - и> и-^ - "-^) х
8^ct(zceo- zoio) Jjf^ J V" I J
oo oo oo t
+"°Ы*-*ого)1 fill K W ~ Г) + тЛ (П'l' * " T) +
X sm(na:)e-1ten!!r 8т(ту)е~^т {daQxeao) - sin(iz0i <> )} e-^dr-ndmtfl 4-
^sy(n(m,t-r)|:
(10.5.14)
Усредненная в пространстве характеристика давления линии [х020-хо1о] , г=0, задается следующим образом: 1
j; - ____________________ х
1 м 7i
- 90 -
009953
__1_
(_--Qt)a (*+л")а }(- + u4)J
[ 8 7 7 7 1 fпуЛу* К *. в) 4- тдДм (", *, а) + j^ay (п, ш, а)]
ff3 (гсозф - жо1 <> ) J j J п\ (а + т?_п3 + т?"т2 4-т?.1а) I
о о о V J
х cos(b) sin(my) {cos(nxoi <> ) - cos(r_o3 <> )} dndm <# +
,-"*V^_.-"-V^l"(~)
-dm
(erf (2й_-35_Л - erf f 2_°Л - erf + erf f ^°±-°Л }
x{erf(w)-tf(w)+-rf(w)-erf(w))
d" +
8^ct_ (хозо - !S01 <> ) t/T)ZVV
2J 0 - ioO / ----- \ e "> "" + e "¦> *" > < e - e ^ч"" ^ x
- 91 -
009953
- (*g0*) - (а^ь) +
,__I \^ TJU * ¦t'otit-toi-*) f , ._l_±__l'\
x {erf f S=^|_) - erf I - erf f ffL+f_) +erf f ^±_2i) } x
oo oo оо t
////n {ПТ?Д> * fa' *> * - т) + ТОЛ* fa ~ r) + fam' * ~'
оооо
х {co8(n_oio) - "-(пжоа^)} е~ч"п*г sin(mi/)e"4"m*T cos(l")e~4",!lTdrdndmcl{ +
< е * <> "* - е *ч"* >
4-pr-f
жозо erf
Доз" Л 2vW
- а?01ф erf
/ д01О ^ ,
(10.5.16)
10.6 Задача 10.1, за исключением того, что для всех t> 0, p(0,y, z,t)=i]/yz(y, z,t) , у> 0, z> 0, p(x,0,z,t)=vj/xz(x,z,t) , х> 0,
2> 0, И Щ^-Х^УМ^
y/xy(x,y,t), х> 0, у> 0. Начальное
давление р (х, у, z, 0) =ф (х, у, z) . 10.7 Задача 10.6, за исключением того, что начальное давление р(х,у,z,0)=pi, константа для всех х> 0, у> 0 и z> 0.
Из вышеприведенного описания изобретения следует, что в него можно вносить многочисленные изменения. Такие изменения не следует рассматривать как отступление от сущности и объема изобретения, и все подобные модификации, как очевидно специалистам в данной области, подлежат включению в объем прилагаемой формулы изобретения.
ФОРМУЛА ИЗОБРЕТЕНИЯ
1. Способ формирования прогноза значений в коллекторе, содержащий этапы, на которых:
(a) принимают входные данные, характеризующие коллектор,
(b) создают компьютерную модель в соответствии с входными данными, характеризующими коллектор, причем этап создания (b), на котором создают компьютерную модель, включает в себя этапы, на которых:
(b1) вычисляют значения в одном измерении, связанные с одним слоем в коллекторе, причем каждое из значений существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе,
(Ь2) вычисляют значения в одном измерении, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе,
(Ь3) вычисляют значения в трех измерениях, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе,
(Ь4) вычисляют значения в трех измерениях как функцию времени, причем значения связаны с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в любой будущий момент времени в коллекторе, причем компьютерная модель формируется в соответствии с этапом вычисления (b4),
проверяют компьютерную модель и
формируют прогноз значений в коллекторе в соответствии с этапом проверки с использованием компьютерной модели.
2. Способ по п.1, в котором этап вычисления (b2) содержит этапы, на которых
- 92 -
009953
вычисляют значения в одном измерении, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе, и
вычисляют значения в двух измерениях, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в двух измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе.
3. Устройство хранения программ, считываемое машиной, материально воплощающее набор команд, выполняемых машиной, для осуществления этапов для формирования прогноза значений в коллекторе, способ содержит этапы, на которых:
(a) принимают входные данные, характеризующие коллектор,
(b) создают компьютерную модель в соответствии с входными данными, характеризующими коллектор, причем этап создания (b), на котором создают компьютерную модель, включает в себя этапы, на которых:
(b1) вычисляют значения в одном измерении, связанные с одним слоем в коллекторе, причем каждое из значений существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе,
(b2) вычисляют значения в одном измерении, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе,
(b3) вычисляют значения в трех измерениях, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе,
(Ь4) вычисляют значения в трех измерениях как функцию времени, причем указанные значения связаны с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в любой будущий момент времени в коллекторе, причем компьютерная модель формируется в соответствии с этапом вычисления (b4),
проверяют компьютерную модель и
с использованием компьютерной модели формируют прогноз значений в коллекторе в соответствии с этапом проверки.
4. Устройство хранения программ по п.3, в котором этап вычисления (Ь2) содержит этапы, на которых
вычисляют значения в одном измерении, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе, и
вычисляют значения в двух измерениях, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в двух измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе.
5. Система, приспособленная для формирования прогноза значений в коллекторе, содержащая первое устройство, приспособленное для приема входных данных, характеризующих коллектор, второе устройство, приспособленное для создания компьютерной модели в соответствии с входными данными, характеризующими коллектор, причем второе устройство, приспособленное для создания компьютерной модели, включает в себя
третье устройство, приспособленное для вычисления значений в одном измерении, связанных с одним слоем в коллекторе, причем каждое из значений существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе,
четвертое устройство, приспособленное для вычисления значений в одном измерении, связанных с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе,
пятое устройство, приспособленное для вычисления значений в трех измерениях, связанных с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе,
шестое устройство, приспособленное для вычисления значений в трех измерениях как функции времени, причем значения связаны с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в любой будущий момент времени в коллекторе, причем компьютерная модель создается в соответствии с вычислением, осуществляемым шестым устройством,
седьмое устройство, приспособленное для проверки компьютерной модели и, таким образом, для формирования проверенной компьютерной модели, и
восьмое устройство, которое в соответствии с проверенной компьютерной моделью приспособлено для формирования прогноза значений в коллекторе в соответствии с проверкой, осуществляемой седь
- 93 -
009953
мым устройством.
6. Система по п.5, в которой четвертое устройство содержит
устройство, приспособленное для вычисления значений в одном измерении, связанных с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе, и
устройство, приспособленное для вычисления значений в двух измерениях, связанных с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в двух измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе.
7. Способ создания компьютерной модели в соответствии с входными данными, характеризующими коллектор, содержащий этапы, на которых:
(a) вычисляют значения в одном измерении, связанные с одним слоем в коллекторе, причем каждое из значений существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе,
(b) вычисляют значения в одном измерении, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе,
(c) вычисляют значения в трех измерениях, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе, и
(d) вычисляют значения в трех измерениях как функцию времени, причем значения связаны с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в любой будущий момент времени в коллекторе, причем компьютерная модель формируется в соответствии с этапом вычисления (d).
8. Способ по п.7, в котором этап вычисления (b) содержит этапы, на которых
вычисляют значения в одном измерении, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе, и
вычисляют значения в двух измерениях, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в двух измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе.
9. Устройство хранения программ, считываемое машиной, материально воплощающее программу из команд, выполняемых машиной для осуществления этапов способа для создания компьютерной модели в соответствии с входными данными, характеризующими коллектор, способ содержит этапы, на которых:
(a) вычисляют значения в одном измерении, связанные с одним слоем в коллекторе, причем каждое из значений существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе,
(b) вычисляют значения в одном измерении, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе,
(c) вычисляют значения в трех измерениях, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе, и
(d) вычисляют значения в трех измерениях как функцию времени, причем значения связаны с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в любой будущий момент времени в коллекторе, причем компьютерная модель формируется в соответствии с этапом вычисления (d).
10. Устройство хранения программ по п.9, в котором этап вычисления (b) содержит этапы, на которых
вычисляют значения в одном измерении, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе, и
вычисляют значения в двух измерениях, связанные с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в двух измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе.
11. Система, приспособленная для создания компьютерной модели в соответствии с входными данными, характеризующими коллектор, содержащая
первое устройство, приспособленное для вычисления значений в одном измерении, связанных с одним слоем в коллекторе, причем каждое из значений существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе,
второе устройство, приспособленное для вычисления значений в одном измерении, связанных с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев
- 94 -
009953
существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе,
третье устройство, приспособленное для вычисления значений в трех измерениях, связанных с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе, и
четвертое устройство, приспособленное для вычисления значений в трех измерениях как функции времени, причем значения связаны с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в трех измерениях существует в любой будущий момент времени в коллекторе, причем компьютерная модель создается, когда четвертое устройство вычисляет значения в трех измерениях как функцию времени.
12. Система по п.11, дополнительно содержащая
пятое устройство, которое в соответствии с вычислением, производимым вторым устройством, значений в одном измерении, связанных с множественными слоями в коллекторе, приспособлено для вычисления значений в двух измерениях, связанных с множественными слоями в коллекторе, причем каждое из значений в каждом из множественных слоев в двух измерениях существует в одной точке пространства в коллекторе и в один момент времени в коллекторе.
ввод
ДАННЫХ
МЕХАНИЗМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
IИНИЦИАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИ I
Фиг. 1
АДАПТАЦИЯ
МОДЕЛИ
14Ь
ВВОД ДАННЫХ
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕХАНИЗМ
I ИНИЦИАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИ I
14а
Фиг. 2
__-------
РАБОЧАЯ СТАНЦИЯ/ИНСТРУМЕНТ РАСЧЕТА И ОЦЕНКИ ГАЗОВОГО КОЛЛЕКТОРА (GREAT)
22Ь-
J ггы--
СИСТЕМНАЯ ШИНА
УСТРОЙСТВО ХРАНЕНИЯ ПРОГРАММ
ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ РАСЧЕТА И ОЦЕНКИ ГАЗОВОГО КОЛЛЕКТОРА
-22с Г
--------------------------------j
ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ
Фиг. 3
20 20а
ввод
ДАННЫХ
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕХАНИЗМ
nPORFPKA
ВЫХОДНАЯ ЗАПИСЬ
Фиг. 4
- 95 -
009953
ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ
РАДИУС СКВАЖИНЫ, ОБОЛОЧКА, ДЛИНА ПЕРФОРАЦИИ, СВОЙСТВА ФЛЮИДОВ, ОПИСАНИЕ КОЛЛЕКТОРА, ДАННЫЕ СКОРОСТИ ВЫХОДА
Фиг. 5
ПРОВЕРКА
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ИСПЫТАНИЯ
АДАПТАЦИЯ МОДЕЛИ
14а
146
Фиг. 6
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕХАНИЗМ
ВХОДНЫЕ ДАННЫЕ
РАДИУС СКВАЖИНЫ, ОБОЛОЧКА, ДЛИНА ПЕРФОРАЦИИ, СВОЙСТВА ФЛЮИДОВ, ОПИСАНИЕ
КОЛЛЕКТОРА, ДАННЫЕ СКОРОСТИ ВЫХОДА
ИНИЦИАЛИЗАЦИЯ МОДЕЛИ
КАЛЬКУЛЯТОР ДАВЛЕНИЯ-ВЫЧИСЛЯЕТ ДАВЛЕНИЕ В ЛЮБОЙ ТОЧКЕ И МОМЕНТ ВРЕМЕНИ; ВЫЧИСЛЯЕТ ДАВЛЕНИЕ КАК ФУНКЦИЮ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ
МНОГОСЛОЙНЫЙ ЦИКЛ. ВКЛЮЧАЕТ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ НА ГРАНИЦАХ МЕЖДУ СЛОЯМИ В РЕШЕНИЕ, ПОЛУЧЕННОЕ ПРИМЕНЕНИЕМ РЕКУРРЕНТНОГО СООТНОШЕНИЯ
¦46
ИНТЕГРИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ
ИСТОЧНИКА ДАВЛЕНИЯ. ВКЛЮЧАЕТ ЦИКЛ СКВАЖИНЫ ДЛЯ НАЛОЖЕНИЯ
ИНТЕГРИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ ГРАНИЦЫ ДАВЛЕНИЯ
ИНТЕГРИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ НАЧАЛЬНОГО ДАВЛЕНИЯ
ДАВЛЕНИЕ, ПОЛУЧЕННОЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫМ ИНТЕГРИРОВАНИЕМ РЕШЕНИЯ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА УРАВНЕНИЯ ПЕРЕДАЧИ-РАСХОД ПОДЧИНЯЕТСЯ ЗАКОНУ ДАРСИ
.56
. J
Фиг. 7
- 96 -
009953
ПОВЕРХНОСТЬ ЗЕМЛИ
ОДИН СЛОЙ В ПЛАСТЕ
Фиг. 8
ПОВЕРХНОСТЬ ЗЕМЛИ
Зба-
збь
много
СЛОЕВ В ПЛАСТЕ
36с'
Фиг. 9
ПОВЕРХНОСТЬ ЗЕМЛИ
36а-
ЗвЬ
много М-
СЛОЕВ В ПЛАСТЕ
36с'
<о-L__
ГЛУБИНА
Фиг. 10
ПОВЕРХНОСТЬ ЗЕМЛИ
3$а-36Ь
В ПЛАСТЕ
38с"
МНОГО \]-;-^ ' 1 ^
СЛОЕВ * +> <^^ У^г
ГЛУБИНА
Фиг. 11
22М
ГРАФИК АДАПТАЦИИ МОДЕЛИ GREAT
4000.0
3999.6
39993
3998.8
3998.4
3999.4
3999Л 3999.0
3998.8 3998.6
3999.6
3999.4
3999.2
3999.0
4000.0
3999.6
3999.2
1QQB а
ЛгЗгСО
3998.4
4000.0*
3999.6
3999.2
3998.8
3998.4
- МОДЕЛЬ О ДАННЫЕ
СКВАЖИНА}
СКВАЖИНА2
СКВАЖИНАЗ
1-"-""1
..... 1 ,1 1 " , 11 1 ..... 1
СКВАЖИНА4
СКВАЖИНА5
20 40 60 80 100 120 140
ВРЕМЯ (Ц,Н\Л)-
Фиг. 12
Евразийская патентная организация, ЕАПВ Россия, 109012, Москва, Малый Черкасский пер., 2/6
1 Ча ~ Чу Ч" J \ Ч" Чу Ч" J
2 Ча ~ Чу Ч" J \ Ч" Чу Ч" J
3 Ча ~ Чу Ч" J \ Ч" Чу Ч" J
4vr - e oiv"
5vr - e oiv"
6vr - e oiv"
7vr - e oiv"
8vr - e oiv"
9vr - e oiv"
10vr - e oiv"
11vr - e oiv"
12vr - e oiv"
13vr - e oiv"
14vr - e oiv"
15vr - e oiv"
16vr - e oiv"
17vr - e oiv"
18vr - e oiv"
19 j nfoV> yJt (тгг, I, а) + тпд^аа (тМ, а) -Ыты/Ьу
(л + 7а,Па 4- %ОТ2 + Ibel2)
ООО
х sm(na;) sm(m.y) {cosfboi) - сов^гог)} dndmdl +
оо оо оо
оо оо оо
оо оо оо
23 ^(t-to,.) / ----- < с *ч** +e "ч"" e *чу* - e > X
- <*" - erf (^Z^) - ("ИО " "t ("У^"*) " -^+^)"f(5^)-(^+",)erf(2^) +
," /n_u f (чяо-oat)' ("oie-"wt)* 1 /пх1А f ("oa"+"oai)a ("oio-t-'озЛ211 4-2*/-^- < e *""" -e 1*> " f+2y"^~ie - e > du +
--- - N U(i-t0t) /--^e "^" + e TEff-Vx
24cosfte) sin(my) {cos(na;oi) - cosfraioa)} dndmdf •+•
25ч*" - e ¦•ч"" *ч" - e **"* > x
26ч*" - e ¦•ч"" *ч" - e **"* > x
27ч*" - e ¦•ч"" *ч" - e **"* > x
28ч*" - e ¦•ч"" *ч" - e **"* > x
29ч*" - e ¦•ч"" *ч" - e **"* > x
30ч*" - e ¦•ч"" *ч" - e **"* > x
31ч*" - e ¦•ч"" *ч" - e **"* > x
32ч*" - e ¦•ч"" *ч" - e **"* > x
33ч*" - e ¦•ч"" *ч" - e **"* > x
34ч*" - e ¦•ч"" *ч" - e **"* > x
35ч*" - e ¦•ч"" *ч" - e **"* > x